베이시스 리스크(Basis Risk)
실제 헷지 거래는 이론과 같이 단순하지 않은데, 그 이유는 다음과 같다.
1) 선물 가격이 위험을 회피하고자 하는 자산의 가격과 정확히 같이 움직이지 않는다.(위험을
회피하고자 하는 자산과 선물의 기초자산은 같을 수도 있고 다를 수도 있다)
2) 위험회피자(hedger)는 헷지 기간을 정확히 알 수 없을 수 있다.
3) 선물 만기(해외에서는 Delivery Month) 이전 헷지 포지션 청산해야 할 경우(헷지하고자 하는
기간과 선물의 만기가 정확히 일치하는 경우는 드물다).
주식 매니저가 S주식 100주를 보유하고 있다고 하자. 매니저는 향후 S주식을 비롯한 전체 주식시장이 하락할
것으로 전망하여 'S주식을 기초자산으로 하는' 6개월 만기 선물을 이용해 매도 헷지(Short hedge)를 실행하였다.
계약 시점에 잔존만기 6개월 선물을 이용하였지만, 매니저는 정확히 언제까지 시장이 하락할 지 예측할 수 없다.
헷지포지션 이후 시장을 지켜보며 포지션의 조정 시기를 가늠할 가능성이 높다.
선물 만기에는 선물의 가격과 현물의 가격이 같아지기 때문에*, 선물 만기를 헷지 기간과 일치시킬 수
있다면 가격 변동 위험을 전부 제거할 수 있을 것이다. 그러나 많은 경우 주식 매니저와 같이 시점을 일치시키기
어려울 것이고, 도중에 선물 계약을 청산하거나 또는 장래의 만기일로 계약을 갈아타는(roll over) 거래를 하게
될 것이다. 만기 이전 포지션 청산 시 베이시스 리스크(basis risk)에 노출된다.
*해외 선물은 특정일을 만기로 쓰지 않고 인도월(Delivery Month)을 지정한다. 보통 'futures price
will be close to asset price'라고 표현한다.
$$Basis = \text{Spot price of asset to be hedged} - \text{Futures price of contract used}$$
베이시스(basis)란 '헷지하고자 하는 기초자산의 가격(여기선 S주식의 가격)'과 '헷지에 이용한 선물 가격'의 차이다.
헷지 이후 선물 가격의 변화율과 자산 가격의 변화율이 동일하지 않기 때문에 포지션 청산 시 헷지 목표 달성에
불확실성이 존재한다.
아래와 같이 용어를 정의하자.
- S0 : 헷지시점(t0)의 현물가격
- S1 : 포지션 청산 시점(t1)의 현물가격
- F0 : 헷지시점(t0)의 선물가격
- F1 : 포지션 청산 시점(t1)의 선물가격
- b0 : 헷지시점(t0)의 베이시스
- b1 : 포지션 청산 시점(t1)의 베이시스
베이시스는 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$b_{0} = S_{0}-F_{0}$$
$$b_{1} = S_{1}-F_{1}$$
주식 매니저가 t0에 선물 매도 헷지를 실행하고 t1에 선물 포지션을
청산한다고 가정하자. t1 시점 매니저 자산 가치는 '보유 주식 + 선물 포지션 손익'이
된다.
$$자산가치 = S_{1}+(F_{0}-F_{1})$$
선물을 F0에 매도하여 F1에 청산하였으므로 손익은 F0-F1
이 된다. 이 때 S1-F1=b1이므로,
$$자산가치 = F_{0}+b_{1}$$
헷지 포지션을 청산하는 t1 시점 자산가치(또는 포트폴리오 가치)는 베이시스에 영향을 받으며, 베이시스
확대, 축소에 따른 헷지 목표 불확실성을 베이시스 리스크(basis risk)라고 한다. 주식 매니저가 선물을
만기까지 보유한다면 F1은 S1에 수렴하기 때문에 b1은 0이 되고
자산가치는 F0이 된다.
교차 헷지(Cross hedge)
어떤 거래자가 헷지하고자 하는 자산을 기초자산으로 하는 선물 계약이 없을 수 있다. 어떤 수출 기업이 노르웨이 크로네(NOK) 노출(exposure)을 헷지하고자 하는데 이를 기초로 한 선물이 없거나, 또는 선물이 있더라도 거래가 활발하지 않아 비용이 클 수 있다. 이럴 경우 수출기업은 크로네(NOK)와 유사한 움직임을 보이는 유로화(EUR) 선물을 이용하여 위험회피거래(hedge)를 할 수 있다. 헷지하고자 하는 자산 가격과 상관관계가 높은 다른 기초자산의 선물을 이용한 헷지를 교차헷지(Cross hedge)라고 한다.위 예에서 주식 매니저는 S주식의 가격 하락 위험을 S주식 선물로 헷지했다고 가정했지만, 만약 선물이 없거나 유동성이 부족하다면 주가지수 선물(Stock index futres)을 이용할 수 있다. 매니저가 단일 주식이 아닌 주식 포트폴리오를 보유하고 있다면 주가지수 선물은 헷지 거래에 있어 거의 반드시 필요할 것이다. 매니저의 이 특정 포트폴리오를 기초자산으로 하는 선물은 존재하지 않을 것이기 때문이다. 이 때 주가지수 선물을 이용한 헷지 또한 교차헷지의 한 예가 되겠다.
최소분산헷지비율(Minimum Variance Hedge Ratio)
미래 어떤 자산을 '특정일에 매도하거나 매수할 목적'일 경우 현물 가치에 상응하는 선물 거래를 통해 가격 변동 위험을 제거할 수 있다. 한편, 선물 반대포지션을 통한 '포트폴리오 위험의 최소화'를 헷지의 목적으로 두는 경우가 있다(ex. 포트폴리오 매니저). 여기에서 말하는 위험(risk)은 포트폴리오 이론의 수익률 표준편차(standard deviation)로 표현된다. 이 경우 보유하는 현물 포지션 가치의 100%를 모두 헷지하는 것이 반드시 최적의 선택이 아닐 수 있는데, 이는 선물 가격의 변동성과 현물 가격의 변동성이 다르다는 점에 기인한다. 교차헷지를 하거나 혹은 헷지기간과 일치하는 선물이 없어 만기가 긴 선물 포지션을 잡는다면 가격 변동성 차이는 두드러질 것이다. 현물 가격이 1% 움직일 때 선물 가격이 2% 변동한다면, 100% 헷지보다는 50%만 헷지하는 것이 포트폴리오 변동성을 최소화하는 헷지비율이다.포트폴리오 수익률의 분산(Variance)*을 최소화시키기 위해 취한 선물 규모의 비율을 최소분산헷지비율(Minimum Variance Hedge Ratio)라고 한다.
*표준편차는 분산의 제곱근이므로, 분산은 표준편차와 같이 포트폴리오의 위험을 의미한다.
투자자가 보유하고 있는 보유자산이 S라고 하자. 가격 변동 위험을 회피하고자 한다면 선물(F)을 매도할 것이다. 헷지비율을 h라고 할 때 헷지포트폴리오의 가치변화는 다음과 같다.
$$\bigtriangleup S-h*\bigtriangleup F$$
- ΔS : 보유자산 현물 가격의 변화분
- ΔF : 헷지에 이용한 선물 가격의 변화분
선물을 합성한 투자자 포트폴리오의 분산(σP2)은
$$\sigma _{P}^{2}=\sigma_{\bigtriangleup S}^{2}+h^{2}\sigma_{\bigtriangleup F}^{2}-2h\sigma_{\bigtriangleup S\bigtriangleup F}$$
- σP2 : 포트폴리오 분산
- σΔS2 : ΔS의 분산
- σΔF2 : ΔF의 분산
- σΔSΔF : ΔSΔF의 공분산
σP2가 최소값이 되는 h를 구하기 위해 h에 대해 1차 편미분을 하고 0으로 두면
$$\frac{\partial \sigma _{P}^{2}}{\partial h}=2h\sigma _{\bigtriangleup F}^{2}-2\sigma _{\bigtriangleup S\bigtriangleup F}=0$$
정리하면 최소분산헷지비율 h*는
$$h^{*}=\frac{\sigma _{\bigtriangleup S\bigtriangleup F}}{\sigma _{\bigtriangleup F}^{2}}=\rho \frac{\sigma _{\bigtriangleup S}}{\sigma _{\bigtriangleup F}}$$
ΔS와 ΔF를 종속·독립변수로 설정한 선형회귀모델(linear regression model)에서는 β의 추정치가 최소분산헷지비율이 된다.
$$\bigtriangleup S=\alpha +\beta *\bigtriangleup F+\varepsilon $$
헷지비율 h*가 결정되면, 포트폴리오 분산(또는 표준편차)를 최소화하기 위해 아래의 식이 성립된다. N을 헷지를 위한 선물 계약 수라고 하면,
$$N*Q_{F}=h^{*}*Q_{S}$$
- QS : 현물의 규모
- QF: 선물 1계약의 규모
앞서 언급한 대로 만약 현물이 1% 변동할 때 선물이 2% 변동한다면 h*는 0.5가 된다. 선물의 가격 변동성이 2배 크기 때문에 좌변의 선물포지션 가치를 현물포지션의 0.5 수준으로 조정하는 것이다. 그러므로 선물 포지션에서 취해야 할 계약의 수 N은
$$N=h^{*}*\frac{Q_{S}}{Q_{F}}$$