이항트리(Binomial Trees)

채권 파트에서 이자율의 무작위적인 움직임(random walk)을 가정한 이항 모형을 구축하여 옵션부 채권(Bond with embedded option)의 가치를 알아본 바 있다. 여기에서는 주식 가격이 임의적이며 예상할 수 없는 경로를 따른다고 가정하고, 각 단계(step) 마다 상승 확률과 하락 확률을 반영하여 트리를 구축한다. 또한 연속복리(continuously compounding interest rate)를 적용한 가치평가(valuation)을 진행한다. 이항트리는 파생상품의 잔존기간 동안 기초자산의 가격이 움직일 수 있는 경로를 그린 것으로, 미국형 옵션(American option)을 비롯한 여러 파생상품의 밸류에이션에 유용한 것으로 알려져 있다.

먼저 아래의 포트폴리오$ (S-c) $를 가정하자. 주식은 배당을 지급하지 않는다.

포트폴리오: S전자 주식 콜옵션 한 계약 매도$ (-c) $ + S전자 주식 $ \Delta $주 매수
- S주식 현재가격: 100,000원
- 콜옵션 행사가격: 105,000원
- 콜옵션 잔존만기: 3개월
- 옵션 종류: 유럽형 옵션

콜옵션 매도 포지션에 대해서 기초자산인 주식을 매수한 헷지 포트폴리오(hedged portfolio)이다. 3개월 후 주가가 11만 원으로 상승하거나 9만 원으로 하락하는 두 가지 경우만 존재한다고 가정하자. 옵션 만기가 도래하는 3개월 뒤 주가가 11만 원이 된다면 콜옵션의 가치는 5,000원$ (110,000원 - 행사가\quad 105,000원) $이 되고, 주가가 9만 원이라면 콜옵션의 가치는 0원$ (max(9,000원-105,000원,\quad 0)) $이 된다. 한편 우리는 무위험 차익거래(arbitrage)의 기회가 없다는 것을 가정하며, 위 포트폴리오는 콜옵션 매도 포지션에 대한 헷지를 실행한 무위험 포트폴리오이기 때문에, 만기 시 주가가 어떤 방향으로 움직이더라도 포트폴리오의 가치는 동일해야 한다는 점을 알 수 있다^*. 옵션 만기 시점 포트폴리오의 가치는

주가가 11만 원으로 상승 시 포트폴리오 가치 = $ 110,000*\Delta주-5,000 $
주가가 9만 원으로 하락 시 포트폴리오 가치 = $ 90,000*\Delta주 $

두 포트폴리오의 가치가 같아야 하므로,
$$110,000*\Delta-5,000 = 90,000*\Delta$$ $$\Delta=0.25$$ *$ \Delta $는 델타(Delta)라고 발음한다. 위 헷지를 델타헷지(Delta hedge)라고 한다.

그러므로 헷지 포트폴리오는 다음과 같다.

- 포트폴리오: 주식 콜옵션 한 계약 매도$ (-c) $ + 주식 0.25주 매수$ (S) $

만약 주가가 110,000원으로 상승한다면

- 포트폴리오 가치 = $ 110,000*0.25주-5,000 = 22,500 $

만약 주가가 90,000원으로 하락한다면

- 포트폴리오 가치 = $ 90,000*0.25주 = 22,500 $

3개월 뒤 주가에 상관없이 일청한 가치(value)를 가지므로 위 포트폴리오는 무위험이다. 따라서 포트폴리오의 수익률은 무위험 수익률(risk-free rate)이 되고^*, 포트폴리오의 현재가치는 옵션 만기 시점의 포트폴리오 가치(=22,500)을 무위험 수익률로 할인한 값이 된다. 무위험 수익률을 12%로 가정하면 포트폴리오의 현재 가치는 21,835원이 된다.
$$22,500*e^{-0.12*\frac{3}{12}}=21,835$$

지금까지의 과정은 콜옵션 가치를 계산하기 위한 것이다. 이를 위해 헷지 포트폴리오$ (S-c) $의 현재 가치를 구하였다. 콜옵션 가치를 $ c $라고 한다면,
$$100,000원*0.25주-c=21,835원$$ $$c=3,165원$$

차익거래의 기회가 없는 상태에서 행사가 105,000원, 잔존만기 3개월의 S주식 콜옵션의 가치는 3,165원이 된다.

*이는 위험중립(risk-neutral)의 개념이다. 위험중립세계(risk-neutral world)에서는 1) 위험자산의 기대수익률은 무위험 수익률과 같고, 2) 옵션의 미래 현금흐름 할인에는 무위험 수익률을 적용한다.

옵션 가치산정의 일반화(이항트리 1단계)

표기(Notation)

1) $ S $: 현재 주가
4) $ Su $: 1기 이후 주가 상승 시 가격
4) $ Sd $: 1기 이후 주가 하락 시 가격
6) $ c $: 현재 유럽형 콜옵션 가치
6) $ c_{u} $: 1기 이후 주가 상승 시 콜옵션 가치$ (max(Su-K, 0)) $
6) $ c_{d} $: 1기 이후 주가 하락 시 콜옵션 가치$ (max(Sd-K, 0)) $
2) $ K $: 행사가격
3) $ T $: 잔존만기
5) $ r $: 무위험수익률(연속복리)

1단계 이항모형을 그림으로 살펴보면 아래와 같다.

옵션 이항트리 1단계

주가가 100,000원( $ S $ )에서 110,000원( $ S*u $ )으로 상승하였으므로, u=1.1이 된다. 반대로 하락 시 주가는 90,000원( $ S*d $ )이므로 d=0.9이다.

최초 포트폴리오는 $ \Delta $만큼의 주식과 콜옵션 한 계약 매도로 이루어진다.
$$S\Delta-c$$

1기간 후 주가가 상승한다면 포트폴리오 가치는 아래와 같다.
$$Su\Delta-c_{u}$$

1기간 후 주가의 하락이 있었다면 포트폴리오 가치
$$Sd\Delta-c_{d}$$

주가의 방향에 관계없이 1기 포트폴리오의 가치는 같다.
$$Su\Delta-c_{u}=Sd\Delta-c_{d}$$ $$\Delta=\frac{c_{u}-c_{d}}{Su-Sd} \quad\quad\quad (1)$$

포트폴리오는 무위험이고(riskless) 시장은 차익거래 기회가 존재하지 않으며 따라서 포트폴리오의 수익률은 무위험 수익률이 된다고 언급하였다. 1기 시점의 포트폴리오 가치가 무위험 수익률을 반영하였으므로 현재 시점의 포트폴리오 가치는 무위험 수익률로 할인한 값이다.
$$S\Delta-c = (Su\Delta-c_{u})e^{-rT}$$ $$c = S\Delta(1-ue^{-rT})+c_{u}e^{-rT}$$

(1)번 식을 대입하여 정리하면,
$$c = S(\frac{c_{u}-c_{d}}{Su-Sd})(1-ue^{-rT})+c_{u}e^{-rT} \quad\quad\quad (2)$$ $$c = e^{-rT}(\frac{c_{u}(e^{rT}-d)+c_{d}(u-e^{rT})}{u-d}) \quad\quad\quad (3)$$

아래와 같이 $ p $를 정의하자.
$$p = \frac{e^{rT}-d}{u-d} \quad\quad\quad (4)$$

(3)번 식의 콜옵션은 다음과 같이 새로 쓸 수 있다.
$$c = e^{-rT}(p*c_{u}+(1-p)*c_{d}) \quad\quad\quad (5)$$

위험중립세계(risk-neutral world)에서 주식을 비롯한 위험자산의 기대수익률은 무위험 수익률과 같다고 언급하였다. 이는 미래 가능한 주가들의 확률을 반영한 가중평균값, 즉 주가의 기대값(expected value)을 무위험 수익률로 할인한 값이 현재의 주가와 동일하다는 것을 의미한다. 한편 (5)번 식의 우항 중
$$p*c_{u}+(1-p)*c_{d}$$

이는 1기간 후 가능한 콜옵션의 가격을 가중평균한 값이다. 따라서 (5)번 식은 '미래 가능한 콜옵션의 가격들을 가중평균한 값(=기대가격)을 무위험수익률로 할인한 값'이 현재 콜옵션의 가치와 같다는 것을 의미하고, $ p $를 '1기간 주가상승확률(probability of an up movement in the stock price during the time step)'로 해석할 수 있다. 이는 미래 가능한 주가의 가중평균 할인값이 현재 주가와 동일하다는 위험중립(risk-neutral) 가정과 일치한다.

*옵션 가치 산정(option pricing)에서 위험중립세계를 가정하는 것은 시장에 차익거래 기회가 없다는 것과 일맥상통한다. 차익거래 기회가 없다는 것은 시장은 효율적이며 가격은 모든 정보를 반영하고 있어 초과수익 기회가 없다는 것을 뜻한다.

$ p $는 주가 상승 확률이기 때문에
$$E(S_{T})=pSu+(1-p)Sd$$ $$E(S_{T})=pS(u-d)+Sd$$

$ p $에 (4)번 식을 대입하여 풀면
$$E(S_{T})=Se^{rT}$$