이항트리(Binomial Trees)
이번 글에서는 다기간 이항트리를 비롯해 변동성\( (\sigma) \)과 u, d의 관계 등을 알아본다.
다기간 이항트리(Multi-step binomial tree)
다기간 이항트리를 이해하기 위해 2기간(two-step) 이항트리를 살펴보기로 한다. 먼저 이전 글에서 살펴본 상승확률( \( p \) ), 옵션 가치( \( c \) ) 식을 다시 정리하면,$$p = \frac{e^{rT}-d}{u-d} \quad\quad\quad (4)$$ $$c = e^{-rT}(p*c_{u}+(1-p)*c_{d}) \quad\quad\quad (5)$$
아래는 2기간 이항트리를 보여주는 그림이다. 1기간 트리에서는 하나의 기간만을 다루었으므로 옵션의 잔존만기 T가 곧 1기간이 되고 따라서 T를 그대로 표기하였다. 2기간 이항트리에서는 잔존만기 T를 두 개 기간으로 나누며, 각 기간을 \( \Delta t \)로 표기한다.
기초자산 주식의 가격이 10만 원으로 시작하여, 각 기간 동안 10%의 움직임을 가지는 것을 가정하였다( \( u=1.1, d=0.9 \) ). 콜옵션의 잔존만기는 6개월, 행사가격은 105,000원이며 무위험 수익률은 12%이다.
트리의 목적은 현재 시점(A)의 콜옵션 가치(c)를 구하는 것다. 이를 위해 옵션 만기 시점인 6개월 이후의 주가에 따른 콜옵션의 가치를 구하고, 위에서 구한 식 (4)와 (5)를 적용하여 각 교점(nodes)의 콜옵션 가치를 구하게 된다. 기간 \( \Delta t \)를 적용하므로 식 (4)와 (5)를 다시 쓰면,
$$p = \frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} \quad\quad\quad (4)$$ $$c = e^{-r\Delta t}(p*c_{u}+(1-p)*c_{d}) \quad\quad\quad (5)$$
\( u=1.1 \), \( d=0.9 \)이므로 \( p \)는 0.65로 계산된다.
$$p=\frac{e^{0.12*0.25}-0.9}{1.1-0.9}=0.65$$
옵션 만기 시점 주가가 121,000원이라면(노드 D) 콜옵션의 가치( \( c_{uu} \) )는 내재가치인 16,000원이 된다. 주가 흐름이 교점(Node) E로 진행되어 99,000원이라면 이는 행사가격보다 낮은 가격이므로 콜옵션의 가치( \( c_{ud} \) )는 0이 된다. 교점 B의 콜옵션 가치( \( c_{u} \) )는 교점 D와 교점 E의 콜옵션 가치의 가중평균값을 할인한 값이다.
$$c_{u}=e^{-0.12*0.25}(0.65*16,000+(1-0.65)*0)=10,128$$
교점 E, F의 콜옵션 가치는 모두 0이다. 마찬가지 과정으로 교점 C의 콜옵션 가치( \( c_{d} \) )는 0이다.
$$c_{d}=e^{-0.12*0.25}(0.65*0+(1-0.65)*0)=0$$
1기간(3개월) 시점인 B와 C의 콜옵션 가치 가중평균을 할인하면 구하고자 하는 콜옵션의 현재가치를 얻을 수 있다.
$$c=e^{-0.12*0.25}(0.65*10,128+(1-0.65)*0)=6,411$$
기초자산 변동성( \( \sigma \) )과 \( u, d \)
옵션 잔존만기 T 기간 주식의 기대수익률은 무위험 수익률이다.$$E(S_{T})=Se^{rT}$$
다기간 이항트리에서는 T를 n기(ex. 2기, 3기, ... )로 나누어 각각의 \( \Delta t \) 구간을 다룬다. 첫 번째 기간(first time step) 이후의 기대 주가는 다음과 같다.
$$E(S_{\Delta t})=Se^{r\Delta t}$$
주가의 상승, 하락 두 가지 경우만을 다루는 이항모형에서 \( p \)가 상승확률, \( 1-p \)가 주가의 하락 확률이므로, 이항트리에서 미래 주가의 기대값은 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$E(S_{\Delta t})=pSu+(1-p)Sd \quad\quad\quad (6)$$
그러므로
$$Se^{r\Delta t}=pSu+(1-p)Sd$$ $$e^{r\Delta t}=pu+(1-p)d$$ $$p = \frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} \quad\quad\quad (7)$$
짧은 구간 \( \Delta t \)에서의 주가 수익률의 표준편차( \( \sigma \); the standard deviation of the return on the stock price in a short period of time lenght \( \Delta t \) )는 아래와 같다.
$$\sigma\sqrt{\Delta t}$$ *이에 대한 도출은 Wiener process에서 논한다.
\( \Delta t \)에서의 주가 수익률 분산(variance)은 \( \sigma^{2}\Delta t \)가 된다. 한편 (6)번 식을 다시 쓰면
$$\frac{E(S_{\Delta t})}{S}=E(\frac{S_{\Delta t}}{S})=pu+(1-p)d$$
\( \frac{S_{\Delta t}}{S} \)는 수익률을 의미한다. \( \frac{S_{\Delta t}}{S} \)를 변수 X로 정의할 때 변수 X의 분산은 \( E(X^{2})-[E(X)]^{2} \)이므로 수익률의 분산은
$$pu^{2}+(1-p)d^{2}-[pu+(1-p)d]^{2}$$ *수익률은 1을 뺀 \( \frac{S_{\Delta t}}{S}-1, u-1, d-1 \)이지만, 1을 빼지 않더라도 분산은 동일하다.
그러므로 $$ pu^{2}+(1-p)d^{2}-[pu+(1-p)d]^{2}=\sigma^{2}\Delta t $$
(7)번 식 \( p \)를 대입하여 정리하면 아래와 같다.
$$e^{\mu \Delta t}(u+d)-ud-e^{2\mu \Delta t}=\sigma^{2} \Delta t$$
테일러급수를 이용해 식을 정리하면
$$u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$$ $$d=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}=\frac{1}{u}$$ *증명은 Quantitative Finance Stack Exchange의 Q&A 참조
모수(parameter) \( u \)와 \( d, p \)로 이항트리를 구축한다.
주가지수옵션(Options on Stock Indices)의 이항트리
지금까지 무배당 주식(Non-dividend paying stock) 옵션에 대한 이항트리를 논의하였다. 국내 옵션 시장은 개별 주식옵션보다는 KOSPI200 지수를 기초로 한 옵션 거래가 상대적으로 더 활성화되어 있는 바, 주가지수는 주식 포트폴리오로 구성되어 있어 배당을 지급하지 않는다는 가정이 현실과 다소 괴리가 있을 수 있다.주식 투자 수익은 배당(dividend)과 자본차익(capital gain)으로 구성된다. 배당수익률(dividend yield)을 \( q \)라고 할 때, 위험중립세계에서 주식의 기대수익률은 무위험수익률(r)이 되므로 자본차익으로 얻게 되는 수익률은 \( r-q \)가 된다. 주가지수의 현재가를 \( S \)라고 한다면 \( \Delta t \) 이후의 기대주가지수는 \( Se^{(r-q)\Delta t} \)가 된다.
$$E(S_{\Delta t})=Se^{(r-q)\Delta t}=pSu+(1-p)Sd$$ $$p=\frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}$$
상승확률 p는 위와 같이 정의된다. 기초자산 변동성을 적용한 \( u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} \)와 \( d=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} \)는 동일하다.
이는 주가지수를 기초자산으로 한 옵션 뿐 아니라 '배당을 지급하는' 주식옵션에도 동일하게 적용된다.
미국형 풋옵션(American Put option)의 이항트리 가치산정
미국형 옵션은 만기 이전 언제라도 옵션을 행사할 수 있는 특징을 가지고 있다. 유럽형 옵션과는 달리, 미국형 옵션의 가치산정은 각 교점에서의 '할인값'과 옵션의 '내재가치(intrinsic value)'를 비교하는 과정을 거친다. 각 교정(nodes)에서 옵션의 내재가치가 유럽형으로 계산한 옵션의 가치보다 크면 옵션 보유자는 옵션을 행사할 것이기 때문이다. 따라서 각 교점에서 앞으로의 기간에 대하여 옵션을 보유하는 것이 이익일지 옵션을 행사하는 것이 이익일지 트리 내에서 검증할 필요가 있다.아래의 예를 통해 알아보자. 기초자산은 무배당(Non-dividend paying) 주식이다.
- \( S=100,000 \)
- \( K=101,000 \)
- \( T=6 \)개월
- \( \sigma=25.10 \)%
- \( r=12 \)%
- \( n=3 \) (3 step binomial tree)
- \( \Delta t=\frac{T}{n}=0.1667 \)
- \( p \): 유럽형 풋옵션 가치
- \( P \): 미국형 풋옵션 가치
\( u \)와 \( d, p \)는 각각 다음과 같다.
$$u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}=1.043$$ $$d=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}=\frac{1}{u}=0.929$$ $$p = \frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}=0.731$$
옵션 만기 시점(3기 이후)인 교점 G, H, I, J의 풋옵션 가치는 \( max(K-S, 0) \)이며, 이는 미국형과 유럽형이 모두 동일하다. 2기의 교점(Nodes) D, E, F를 보면 D, E에서의 가치는 유럽형과 미국형이 동일하나, 교점 F에서의 가치는 서로 다르다.
$$교점 \, F \, 유럽형 \, Put \, 가치=e^{-0.12*0.1667}(0.731*5,097+(1-0.731)*12,794)=7,026$$
미국형 옵션의 경우 각 교점마다 유럽형 옵션 가치와, 교점에서의 내재가치를 비교하여 높은 것이 그 가치가 된다고 언급하였다. 교점 F에서의 옵션 내재가치는 \( 9,026(max(101,000-97,974, 0)) \)으로 위에서 계산한 할인값 7,026원보다 높으므로 F에서의 풋옵션 가치는 9,026원이 된다.
$$교점 \, F \, 미국형 \, Put \, 가치=max[e^{-0.12*0.1667}(0.731*5,097+(1-0.731)*12,794), 101,000-97,974]=9,026$$
미국형 풋옵션의 교점 C에서의 가치는
$$max[e^{-0.12*0.1667}(0.731*1,344+(1-0.731)*9,026), 101,000-95,903]=5,097$$
잔존만기 6개월 미국형 풋옵션은 1,598원으로 같은 조건의 유럽형 풋옵션 997원보다 더 높은 가치를 지닌다.
배당을 지급하지 않는(Non-dividend paying) 주식을 기초자산으로 하는 콜옵션은 유럽형과 미국형의 가치가 동일하게 계산된다( \( c=C \), 내용은 풋콜패리티 링크 참조).