이자율 이항모형

이자율 이항트리(binomial interest rate tree)

옵션이 없는 채권(option-free bond)의 가격은 미래 현금흐름을 현물수익률 곡선으로 할인한 현재가치의 합이라는 것을 알았다. 이 때 미래 현금흐름은 확정적이다. 그러나 옵션부 채권(bond with embedded option)은 금리 변동에 따라 미래 현금흐름이 변하기 때문에 금리 변동성을 반영한 밸류에이션 방식을 적용할 필요가 있다.

이항트리 모형을 이용하여 옵션부 채권의 가치를 산정할 때는 아래의 단계를 거친다.

1) 시장에서 거래되는 무옵션부(option-free) 채권으로부터 미래 선도금리(forward rate)를 구하고 이자율 이항트리(binomial interest rate tree)를 구축
2) 옵션부 채권의 미래 현금흐름은 이자율의 변동(상승 또는 하락)에 따라 달라지므로, 각 시점의 이자율 상태에 기반한 채권의 현금흐름 예측
3) 각각의 현금흐름을 선도금리로 할인하여 현재가치를 구함

현재 금리 r_0는 1기간 뒤 올라갈 수도 있고 하락할 수도 있다(r_1). 2기간 뒤의 금리 r_2 또한 상승 또는 하락 두 가지 경우의 수를 가지며 트리를 전개한다. 일반적인 채권이라면 금리가 어떻게 움직이든 간에 현금흐름이 변하지 않지만 옵션부 채권은 그렇지 않다. 예를 들어 수의상환채권(Call option)의 경우 시장 금리가 하락하면, 발행사(issuer)는 옵션을 행사하여 채권을 만기 이전에 조기상환 하고 낮아진 금리 수준에 다시 발행할 유인이 생긴다. 각각의 금리 전개에 따른 옵션부 채권의 현금흐름을 구하고 이를 할인하여 현재가치를 구하면 된다.

옵션부(bond with embedded option) 채권 가격을 구하는 경우, 채권가격 자체의 이항트리모형을 설계하는 것이 아니라 이자율에 대한 이항트리모형을 이용한다. 자산의 변화를 이항트리모형으로 설계할 경우 만기 시 기초자산의 분포는 대수정규분포 또는 정규분포가 되는 것이 일반적이므로, 이러한 분포를 따르는 주가의 경우 이항트리모형 이용이 가능하다. 그러나 채권의 경우 만기에 가까워질수록 가격이 액면가(또는 경과이자를 포함한 dirty price)에 수렴하기 때문에 채권의 가격이 대수정규분포나 정규분포를 한다고 가정하는 것은 적절치 않다. 따라서 채권 가격 보다는 이자율에 대한 이항모형을 설계한다. (엑셀 VBA를 이용한 금융공학, 2008, 이준행/이종식 공저)

동 사이트에서 구한 현물수익률 곡선과의 원활한 비교를 위해 이자율은 6개월 금리를 사용하였다. 이항 모형에서 이자율은 대수정규분포(lognormal distribution)를 따른다고 가정한다.

(아래 설명은 이준행/이종식 저자의 ‘엑셀 VBA를 이용한 금융공학’을 참조하였음)

6개월 뒤 6개월 선도금리(forward rate)는 r_d로 하락할 수 있고, 또는 r_u로 상승할 수도 있다. r_u와 r_d의 관계가 아래와 같다고 하자.

$$r_{u} = r_{d}*exp(\theta)$$

이자율(r)에 자연대수(ln)를 취한 값이 이항분포를 하므로,

$$기대값 : \frac{1}{2}*lnr_{d}exp(\theta) = lnr_{d} + \frac{\theta}{2}$$ $$분산 : \frac{1}{2}*{(lnr_{d}exp(\theta)-(lnr_{d}+\frac{\theta}{2}))}^{2} + \frac{1}{2}*{(lnr_{d}-(lnr_{d}+\frac{\theta}{2}))}^{2} = \frac{\theta^{2}}{4}$$

표준편차(σ)는 분산의 제곱근이므로 σ = θ/2 가 된다. 그러므로

$$r_{u} = r_{d}*exp(2\sigma)$$
가 되고, r_d를 찾으면 r_u는 자연스럽게 구할 수 있게 된다.

선도금리(forward rate) 산출

이자율 이항트리는 옵션부 채권(bond with embedded option)의 가격을 평가하기 위해 사용하는 모델로, 이를 위해서 먼저 선도금리를 구하여 이자율 이항 트리를 구축해야 한다. 무옵션부(option-free) 채권의 시장가격을 통해서 선도금리를 구할 수 있다.

동 사이트의 ‘Bootstrapping’에서 이용한 채권을 다시 보자.

번호	잔존 만기	표면금리(%)	수익률(%)	가격
1	6개월	1.375	0.518	10,042.74
2	1년	1.875	0.695	10,117.39
3	1년 6개월	2.000	0.820	10,175.56
4	2년	0.750	0.930	9,964.41

r₀는 0.518%이다. 우리는 잔존만기 1년짜리 채권을 통해 6개월 뒤 6개월 금리(r₁)를 알 수 있다.

먼저 채권의 시장 가격 10,117.39는 6개월 뒤 현금흐름의 할인값이다. 금리 경로가 두 가지 경우가 있으므로 2를 나눠 평균값으로 계산한 값이 가격이 된다. 수식으로 표현하면,

$$10,117.39 = \frac{1}{2}*(\frac{V_{up}+C}{r_{0}} + \frac{V_{down}+C}{r_{0}})$$
한편 1년 뒤 만기 도래하는 채권의 현금흐름은 금리 수준에 관계없이 10,000 + 93.75이다. 이 현금흐름을 선도금리 r₁ 및 r₁*exp⁡(2σ)으로 각각 할인하면 6개월 시점의 가치(V)가 나올 것이다. 이제 이 가치에 쿠폰 93.75를 더한 값을 0.518%(r₀)로 할인한 값이 채권의 현재가격 10,117.39와 일치하는 선도금리 r₁을 구하면 된다.

시행착오법(trial and error)으로 구할 수 있으며 r₁은 0.862%이다. 이 때 변동성(σ)은 1.29%를 적용하였다. (소수점 넷째 자리 반올림)

같은 방식으로 잔존만기 1.5년 채권을 이용하여 선도금리 r₂(1년 뒤 6개월 금리)를, 잔존만기 2년 채권의 현금흐름과 시장가격을 이용하여 선도금리 r₃를 구할 수 있다.

옵션부 채권(bond with embedded option) 밸류에이션

가상의 채권 조건이 아래와 같다고 하자.

  잔존만기 : 2년
  표면이자율 : 1.30%, 6개월 단위 지급
  액면 : 10,000원

또한 위 채권의 평가를 위한 적정 수익률 곡선은 위에서 제시한 곡선이라고 가정하자. 이에 따라 위에서 구한 이자율 트리를 적용할 수 있다. 이항 트리를 적용한 Pricing 결과는 10,073.31원이다.

이제 위 채권이 동일 조건에 콜옵션이 부여된 옵션부 채권인 경우를 살펴보자. 콜옵션 조건은 아래와 같다고 가정하자.
  콜옵션 : 만기 6개월 이전부터 행사 가능, 액면 10,000원 상환

현재 시점으로부터 1.5년째 되는 날부터 발행사 수의상환(Call)이 가능하다. 발행사 입장에서는 콜옵션이 가능한 기간에 시장 금리가 표면금리보다 낮으면 콜옵션 행사로 조기상환을 하고, 낮은 금리로 채권을 재발행 할 유인이 존재한다. 그러므로 옵션 행사 가능 기간 중 금리가 표면금리보다 낮을 경우의 채권의 가치는 10,000원이다.

옵션이 없는 경우와 비교하면 콜옵션 행사가 가능한 1.5년 시점에 채권가치(Value)가 10,000원을 넘는 경우(시장금리가 표면금리보다 낮은 경우), 발행사가 옵션을 행사하여 10,000원으로 상환할 가능성이 높으므로 채권가치는 상환 가격인 10,000원이 된다. 이를 반영하여 이자율 트리로 할인한 현재가치는 10,070.79원이며, 콜옵션이 없을 경우의 가격 10,073.31원 보다 2.51원 낮다.

옵션의 가치(Option Value)

위에서 옵션을 제외한 모든 조건이 동일한 채권을 비교하였다. 콜옵션이 붙어있다는 것을 제외하면 모든 조건이 동일하므로, 두 채권의 가격 차이는 내재된 콜옵션의 가치로 해석할 수 있다.

Value of a call option = value of a noncallable bond – value of a callable bond

위에서 계산한 콜옵션의 가치는 2.51원이다.

변동성(σ)과 옵션 가치

위에서 제시한 콜옵션을 내재한 채권의 현재가치를 이자율 트리를 이용하여 구할 때 변동성은 1.29%를 적용하였다. 만약 금리 변동성이 변하면 채권 가치에 어떤 변화가 있을까?

금리 변동성 4.00% 적용 시 콜옵션부 가상 채권 현가는 아래와 같다.

변동성이 1.29%에서 4.00%로 확대됨에 따라 콜옵션부 채권의 현가가 10,068.98원으로 하락하였다. 이는 변동성 확대에 따른 콜옵션 가치 증가에 기인한다.

아래는 가상 채권의 각 변동성 시나리오 하 현재가치(가격) 표이다.

구 분(%, 원)	변동성(σ)
구 분(%, 원)	0.25	0.50	1.29	2.00	4.00
콜옵션부(Callable)	10,071.42	10,071.27	10,070.79	10,070.34	10,068.98
무옵션부(Non callable)	10,073.31	10,073.31	10,073.31	10,073.31	10,073.31

콜옵션부 채권은 변동성에 반비례하여 가격이 변화한다. 즉 변동성이 크면 콜옵션의 가치가 커짐에 따라 콜옵션부 채권의 가치가 하락하게 되고, 변동성이 줄어들면 반대로 채권의 가치가 올라간다. (Value of a callable bond = Value of a noncallable bond – Value of a call option)

만약 채권이 풋옵션(Put Option)을 내재한다면 결과는 반대로 나온다.