Bootstrapping
Bootstrap이란 단순 요소에서 시작하여 일련의 체계를 구축하는 뜻으로 알려져 있다.
수익률 곡선을 구함에 있어 bootstrapping 방식은 시장 관측 가능한 단기 현물 수익률에서부터
시작하여 단계적으로 장기 수익률을 구하는 일련의 과정이다. 아래 채권을 보자.
| 번호 | 잔존 만기 | 표면금리(%) | 수익률(%) | 가격 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6개월 | 1.375 | 0.518 | 10,042.74 |
| 2 | 1년 | 1.875 | 0.695 | 10,117.39 |
| 3 | 1년 6개월 | 2.000 | 0.820 | 10,175.56 |
| 4 | 2년 | 0.750 | 0.930 | 9,964.41 |
대한민국 국채는 6개월 단위로 이자를 지급하고 만기에 이자와 함께 액면금액을 상환하는 채권이다. 첫 번째 채권은
6개월 후 만기 시점에 이자와 액면을 상환하므로, 잔존기간 동안 현금흐름이 한 번 일어나는 채권이다. 따라서 잔존만기
6개월인 첫 번째 채권의 시장 거래 수익률(YTM)은 그대로 현물수익률(spot rate)이 된다.
$$10,042.74=\frac{10,068.75}{(1+\frac{z_{1}}{2})}$$
z1 = 6개월 현물수익률(연율)
두 번째 채권은 6개월 뒤 93.75원, 1년 뒤 10,093.75원을 지급한다. 시장 가격이 10,117.39원(YTM 0.695%)이므로
아래의 식이 성립한다.
$$10,117.39=\frac{93.75}{(1+\frac{z_{1}}{2})} + \frac{10,093.75}{(1+\frac{z_{2}}{2})^{2}}$$
z1 = 6개월 현물수익률(연율)
z2 = 1년 현물수익률(연율)
여기서 z1은 0.518% 이므로,
$$10,117.39=\frac{93.75}{(1+\frac{0.00518}{2})} + \frac{10,093.75}{(1+\frac{z_{2}}{2})^{2}}$$
z2는 0.696%가 된다.
6개월, 1년 현물수익률(spot)을 구했다면 잔존만기 1년 6개월 채권으로 1.5년 현물수익률을 얻을 수 있다.
$$10,175.56=\frac{100}{(1+\frac{z_{1}}{2})} + \frac{100}{(1+\frac{z_{2}}{2})^{2}} + \frac{10,100}{(1+\frac{z_{3}}{2})^{3}}$$
z1은 0.518%, z2는 0.696%이므로,
$$10,175.56=\frac{100}{(1+\frac{0.00518}{2})} + \frac{100}{(1+\frac{0.00696}{2})^{2}} + \frac{10,100}{(1+\frac{z_{3}}{2})^{3}}$$
1.5년 spot rate(z3)은 0.822%이다.
마지막으로 잔존만기 2년 채권을 통해 2년 현물수익률(spot rate)을 구해보자.
$$9964.41=\frac{37.5}{(1+\frac{z_{1}}{2})} + \frac{37.5}{(1+\frac{z_{2}}{2})^{2}} + \frac{37.5}{(1+\frac{z_{3}}{2})^{3}} + \frac{10,037.5}{(1+\frac{z_{4}}{2})^{4}}$$
$$9964.41=\frac{37.5}{(1+\frac{0.00518}{2})} + \frac{37.5}{(1+\frac{0.00696}{2})^{2}} + \frac{37.5}{(1+\frac{0.00822}{2})^{3}} + \frac{10,037.5}{(1+\frac{z_{4}}{2})^{4}}$$
z4는 0.931%가 된다.
| 잔존만기 | YTM(%) | Spot(%) |
| 6개월 | 0.518 | 0.518 |
| 1년 | 0.695 | 0.696 |
| 1년 6개월 | 0.820 | 0.822 |
| 2년 | 0.930 | 0.931 |
두 이자지급일 사이의 어느 시점에서 Spot rate을 구할 때는 차기이자지급일로부터 현재시점까지의 일수 단리할인을 적용하여 수익률을 계산한다.
아래는 21년 3월 29일 기준 현물수익률을 구하고, 국채수익률과 비교해 본 차트이다.
(그림)
Bootstrapping - 행렬 이용
위와 같이 Bootstrapping을 순차적으로 풀어 수익률 곡선을 구할 수 있으며, 다른 방식으로는 행렬식을 이용할 수 있다. 위에서 예시로 든 채권을 다시 적으면,
| 번호 | 잔존 만기 | 표면금리(%) | 수익률(%) | 가격 | |
| 1 | 6개월 | 1.375 | 0.518 | 10,042.74 | |
| 2 | 1년 | 1.875 | 0.695 | 10,117.39 | |
| 3 | 1년 6개월 | 2.000 | 0.820 | 10,175.56 | |
| 4 | 2년 | 0.750 | 0.930 | 9,964.41 |
b(0, 1)을 1기의 할인계수, b(0, 2)를 2기 할인계수, b(0, 3)을 세 번째 기간의 할인계수 … 라고 하자. 위 표에서 확인하듯 1기의 현물 수익률이 0.518% 이므로, 첫 번째 할인계수 b(0, 1)은
$$b(0, 1)=\frac{1}{(1+\frac{0.00518}{2})} = 0.99742$$
가 된다.
할인계수를 이용해서 다음과 같은 방정식을 세울 수 있다.
$$(68.75+10,000)*b(0, 1)=10,042.74$$
$$(93.75)*b(0, 1)+(93.75+10,000)*b(0, 2)=10,117.39$$
$$(100)*b(0, 1)+(100)*b(0, 2)+(100+10,000)*b(0, 3)=10,175.56$$
$$(37.5)*b(0, 1)+(37.5)*b(0, 2)+(37.5)*b(0, 3)+(37.5+10,000)*b(0, 4)=9,964.41$$
이를 행렬 형태로 나타내면 다음과 같다.
$$\begin{bmatrix}
10,068.75 & 0 & 0 & 0 \\
93.75 & 10,093.75 & 0 & 0\\
100 & 100 & 10,100 & 0 \\
37.5 & 37.5 & 37.5 & 10,037.5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b(0, 1)\\b(0, 2)\\b(0, 3)\\b(0, 4)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
10,042.74 \\ 10,117.39 \\ 10,175.56 \\ 9,964.41
\end{bmatrix}$$
여기서 각 행렬을 A, b, P라고 하자.
$$A =
\begin{bmatrix}
10,068.75 & 0 & 0 & 0 \\
93.75 & 10,093.75 & 0 & 0 \\
100 & 100 & 10,100 & 0 \\
37.5 & 37.5 & 37.5 & 10,037.5
\end{bmatrix}$$
$$b =
\begin{bmatrix}
b(0, 1)\\ b(0,2) \\ b(0, 3)\\ b(0, 4)
\end{bmatrix}$$
$$P =
\begin{bmatrix}
10,042.74 \\ 10,117.39 \\ 10,175.56 \\ 9,964.41
\end{bmatrix}$$
행렬식은 아래와 같이 표현되고, 구하고자 하는 벡터 b는 A의 역행렬을 이용하여 구할 수 있다.
$$Ab=P$$
$$b=A^{-1}P$$
