블랙-숄즈-머튼 모형(BSM Model) _ 2

옵션의 가치(Value)

옵션 만기 시점의 콜옵션 \( c_{T} \)의 가치는 T 시점의 주가 \( S_{T} \)에 의해 결정된다.
$$c_{T} = max(S_{T}-K, 0)$$

현재 시점에서 보았을 때 \( S_{T} \)는 미래 주가의 기대값으로 쓸 수 있다.
$$c_{T} = max(E(S_{T})-K, 0) = E[max(S_{T}-K, 0)]$$

\( E(S_{T})=S_{0}e^{Y(T)} \)라고 하자. \( S_{T} \)는 로그정규분포를 따르고, \( Y(T)=ln( \frac{E(S_{T})}{S_{0}}) \)는 평균 \( m \), 분산 \( s^{2} \)의 정규분포를 따르는 위너 과정이다.
$$\frac{E(S_{T})}{S_{0}} = exp(m+ \frac{s^{2}}{2})$$ $$m=ln( \frac{E(S_{T})}{S_{0}}) - \frac{s^{2}}{2}$$

\( E[max(S_{0}e^{Y(T)}-K, 0)] \)을 구하기 위해 Y로 적분하면
$$E[max(S_{0}e^{Y(T)}-K, 0)] = \int_{ln (\frac{K}{S_{0}e^{Y}})}^{\infty }(S_{0}e^{Y}-K) \frac{1}{\sqrt{s\pi s^{2}}} e^{\frac{-(Y-m)^{2}}{2s^{2}}}dy$$

\( w= \frac{Y-m}{s} \)라고 정의하면,
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }(S_{0}e^{m+ws}-K)e^{\frac{-w^{2}}{2}}dw = S_{0}e^{m} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{ws}e^{\frac{-w^{2}}{2}}dw - K \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{\frac{-w^{2}}{2}}dw$$
*\( a=\frac{ln( \frac{K}{S_{0}})-m}{s} \)

우변의 첫 번째 적분 부분을 살펴보자.
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{ws}e^{\frac{-w^{2}}{2}}dw = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{ \frac{-(w^{2}-2ws+s^{2})}{2}} e^{ \frac{s^{2}}{2}}dw = e^{ \frac{s^{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{-\frac{(w-s)^{2}}{2}}dw $$ $$ = e^{\frac{s^{2}}{2}} P[\phi (s, 1) \geq a] $$ $$ = e^{\frac{s^{2}}{2}} P[\phi (0, 1) \geq a-s] $$ $$ = e^{\frac{s^{2}}{2}} P[\phi (0, 1) \leq s-a] $$ $$ = e^{\frac{s^{2}}{2}} N(s-a) $$

마찬가지로 두 번째 적분 부분 \( K \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{a}^{\infty }e^{\frac{-w^{2}}{2}}dw \)는 \( KN(-a) \)로 쓸 수 있다. 따라서
$$ c_{T} = E[max(S_{T}-K, 0)] = S_{0}e^{m+ \frac{s^{2}}{2}}N(s-a) - KN(-a)$$

\( m= ln( \frac{E(S_{T})}{S_{0}}) - \frac{s^{2}}{2} \)를 대입하면,
$$ c_{T} = E[max(S_{T}-K, 0)]= E(S_{T})N(s-a) - KN(-a) $$

\( E(S_{T}) \)는 T 시점 주가의 기대값으로 이는 \( S_{0}e^{\mu T} \)가 된다. 한편 위험중립세계(risk-neutral world)에서 주식의 기대수익률은 무위험수익률(r)이 되고, 콜옵션의 기대수익률 또한 무위험수익률이므로 현재 시점의 콜옵션 가치는 \( c_{T} \)를 현재가치로 할인한 값이다.
$$ c= e^{-rT}c_{T} = e^{-rT}E[max(S_{T}-K, 0)]= e^{-rT}[S_{0}e^{rT}N(s-a) - KN(-a)] $$ $$ c=S_{0}N(s-a)-Ke^{-rT}N(-a) $$

이제 누적확률분포 N()을 정리하자. \( a=\frac{ln( \frac{K}{S_{0}})-m}{s}, \ m= ln( \frac{E(S_{T})}{S_{0}}) - \frac{s^{2}}{2}, \ s=\sigma \sqrt{T} \)이므로,
$$ s-a = \frac{\sigma^{2}T - ln( \frac{K}{S_{0}}) + ln( \frac{E(S_{T})}{S_{0}}) - \frac{\sigma^{2}T}{2}}{\sigma \sqrt{T}} $$

\( E(S_{T})=S_{0}e^{rT} \)이므로,
$$ s-a = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K}) + (r + \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} = d_{1} $$ $$ -a = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K}) + (r - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} = d_{2} $$

그러므로 무배당 주식(Non-dividend paying stock)을 기초자산으로 하는 콜옵션의 현재 가치는
$$c = S_{0}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$$
*\( d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \), \( d_{2} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r-\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)

같은 방식으로 풋옵션의 현재 가치는 아래와 같다.
$$p = Ke^{-rT}N(-d_{2}) - S_{0}N(-d_{1})$$