볼록성(Convexity)

옵션이 내재되어 있지 않은 일반 채권(option free bond)의 볼록성에 대해 논한다.

듀레이션은 볼록한 모양을 가지는 채권 가격의 변화를 직선(미분에 따른 접선)으로 추정함에 따라 실제 가격 변동과 괴리를 가지게 된다.



채권 가격 변동을 추정하는 데 있어, 듀레이션 보다 괴리가 적은 수학적인 관계(mathematical relationship)를 찾을 수 있을까? 채권가격 함수 f(x)를 임의의 한 점에서 다항식으로 근사하는 테일러 정리(Taylor theorem)를 적용할 수 있다.

$$f(x_{1}) = f(x_{0}) + \frac{1}{1!}*{f'}(x_{0})*(x_{1}-x_{0}) + \frac{1}{2!}*{f''}(x_{0})*(x_{1}-x_{0})^{2} + \cdot \cdot \cdot $$
위 테일러 전개식을 가격(P)과 수익률(r)로 대치하면,

$$p_{1} = p_{0} + \frac{1}{1!}*\frac{\delta P}{\delta y}*(\delta y) + \frac{1}{2!}*\frac{\delta^{2}P}{\delta y^{2}}*(\delta y)^{2} + \cdot \cdot \cdot $$
정리하면,

$$p_{1} - p_{0} = \frac{1}{1!}*\frac{\delta P}{\delta y}*(\delta y) + \frac{1}{2!}*\frac{\delta^{2}P}{\delta y^{2}}*(\delta y)^{2} + \cdot \cdot \cdot $$
$$\delta P = \frac{\delta P}{\delta y}*(\delta y) + \frac{1}{2!}*\frac{\delta^{2}P}{\delta y^{2}}*(\delta y)^{2} + \varepsilon $$
$$\frac{\delta P}{P} = \frac{\delta P}{\delta y}\frac{1}{P}*(\delta y) + \frac{1}{2!}*\frac{\delta^{2}P}{\delta y^{2}}\frac{1}{P}*(\delta y)^{2} + \varepsilon $$

듀레이션은 금리에 대한 채권가격의 1차 미분값으로, 이는 첫 번째 항에 해당한다. 채권의 볼록성으로 인한 가격변화율은 두 번째 항에 나타나고 있으며, 이는 금리에 대한 채권가격의 2차 미분값이 된다.

$$\frac{\delta P}{P} \approx -modified \ duration*(\delta y) + \frac{1}{2}*convexity*(\delta y)^{2} $$

예)
국채(18-3)의 ytm이 2.25%일 경우 수정 듀레이션은 2.888, 볼록성은 9.692이다. 금리의 100bp 상승이 있을 경우에 듀레이션과 볼록성을 적용한 가격 변화 추정치를 구해보면,

$$ -2.888\times0.0100 + \frac{1}{2}\times9.692\times(0.0100)^{2} = -0.02283954 \ or \ -2.83954% $$
실제 가격 하락률은 -2.83651%이며 수정 듀레이션만으로 추정했던 가격변화율 -2.888% 보다 더 근접한 수치를 나타낸다. 한편 금리 100bp 하락이 있을 경우의 가격 변화 추정치를 구해보면,

$$ -2.888\times -0.0100 + \frac{1}{2}\times9.692\times(-0.0100)^{2} = 0.0293646 \ or \ 2.93646% $$
수익률이 2.25%에서 1.25%로 100bp 하락할 경우 실제 채권가격은 10,293.545원으로 계산되며 가격상승률은 2.93545%이다. 여기서 같은 100bp의 금리 변동이 있더라도, 100bp 하락에 따른 가격 상승률이 100bp 상승에 따른 가격 하락률보다 더 높다는 것을 알 수 있다.

위 그림에서 볼 수 있듯이 수익률이 움직임에 따라 채권의 듀레이션 또한 변화한다. 채권 수익률이 하락하면, 채권 가격이 상승함과 동시에 접선의 기울기가 가팔라지는 것을 확인할 수 있는데 이는 듀레이션이 커지는 것을 의미한다. 반대로 채권 수익률이 상승하면 듀레이션은 감소, 추가적인 수익률 하락에 따른 가격 하락 폭을 제한하는 효과를 가져온다. 이러한 채권의 특성은 볼록성에 기인하며, 이를 양의 볼록성(positive convexity)라고 한다. 때문에 금리 민감도를 이용한 투자를 진행한다면, 비슷한 듀레이션을 가지는 다양한 채권들 중 높은 볼록성을 가지는 채권에 더 높은 점수를 주게 될 것이다.

옵션이 없는 모든 일반 채권(option-free bond)의 볼록성(convexity)은 다음의 특징을 가진다.

  1) 양의 볼록성(positive convexity)에 따라, 채권수익률이 상승(하락)하면 볼록성은 하락(상승)한다.
  2) 만기와 수익률이 동일하다면, 표면금리(coupon rate)가 낮을수록 볼록성은 커진다.
  3) 수익률과 수정듀레이션이 동일하다면, 표면금리(coupon rate)가 높을수록 볼록성은 커진다.
  4) 음의 볼록성(nevative convexity)은 보통 금리 변화에 따라 현금흐름이 변하는 채권에서 나타나며, 대표적인 예로 옵션부 채권(특히 콜옵션부 채권)이나 주택저당채권(MBS)이 있다.