Credit Risk Modeling_Merton's Model

구조모형(Structural Model)

채권의 신용위험을 예측하는 모델 중 하나로 구조모형(Structural model)이 있다. 구조모형은 회사의 자본구조를 분석하여 부도 여부를 예측하는 모델로, 부도를 회사 주주가 보유한 하나의 옵션으로 인식한다. 회사의 자산(Asset)이 특정 수준 이하로 떨어지면 옵션이 행사된다고(=주주가 회사를 부도낸다고) 본다. 이 때 기업의 채권자를 '옵션매도자', 주주를 '옵션매수자'로 간주한다.

옵션 가격결정 모형으로 유명한 BSM Option pricing model과 이를 추가 확장한 모델을 통칭하여 구조모형(Structural model)이라고 한다. BSM(Black-Scholes-Merton) 모형 개발 이후 1974년 Merton이 이를 회사채 가치평가에 적용하였다.

BSM 모델을 적용하는 데 있어 몇 가지 기본 가정이 있으며 이러한 가정들은 다소 비현실적이다. 구조모형들은 BSM 모델을 기본으로 하여 비현실적인 가정들을 점차 완화하는 방향으로 이론 발전이 이루어진다. 여기에서는 BSM 모델을 살펴본다.

Black-Scholes-Merton Model

BSM 모델을 통해 채권의 부도(Default) 확률을 계산할 수 있다.(BSM 모델은 링크 참조 : 블랙숄즈머튼 모형)

가정(Assumption)

1) 회사는 하나의 채권만을 발행하였고 그 외 부채는 없다.
2) 발행된 채권은 T 시점에 만기가 도래하는 무이표채권(zero-coupon bond)이다.
3) 무위험수익률( $ r $)과 변동성( $ \sigma $)은 채권 만기까지 일정하다.

표기(Notation)

1) $ E_{0} $: 현재 시점 회사 자본(equity)의 가치
2) $ E_{T} $: T시점 회사 자본(equity)의 가치
3) $ V_{0} $: 현재 시점 회사 자산(asset)의 가치
4) $ V_{T} $: T시점 회사 자산(asset)의 가치
5) $ D $: 채권 만기인 T시점에 상환해야 할 금액(무위효채권의 액면)
6) $ \sigma_{E} $: 자본가치의 변동성
7) $ \sigma_{V} $: 자산가치의 변동성

채권 발행인인 회사는 T시점에 D를 채권자들에게 상환해야 한다. T 시점에 회사 자산과 자본, 부채의 관계에 대해 아래 세 시나리오가 있다.

시나리오 1: 자산가치가 부채 상회( $ V_{T} > D $), $ E_{T}=V_{T}-D > 0 $
시나리오 2: 자산가치가 부채 하회( $ V_{T} < D $), $ E_{T}=V_{T}-D < 0 $
시나리오 3: 자산가치가 부채와 동일( $ V_{T} = D $), $ E_{T} = 0 $

회사 주주 입장에서, 시나리오 2, 3과 같이 자산가치가 부채와 같거나 작다면 자본의 가치(value of equity)는 0보다 작으므로 주주는 회사를 지속할 유인이 없고, 채무를 상환하지 않고 부도를 내는 것이 합리적이다. 반면 자산가치가 부채를 상회한다면 회사 자본의 가치는 0보다 크므로 채권을 상환할 것이다. 따라서 T 시점 자본의 가치는 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ E_{T} = max(V_{T}-D, 0) $$

위는 콜옵션(Call option)의 손익구조(payoff)와 동일하므로, 자본(E)^*을 콜옵션으로 볼 수 있다. 따라서 회사의 주주는 콜옵션 매수포지션을 보유한 이해관계자가 된다.
*자본(E)을 자산(V)을 기초자산으로 하고, T를 만기로 하며, 채권상환금액(D)을 행사가격으로 가지는 콜옵션으로 해석

한편
$$ D = V_{T} - E_{T} $$ $$ D = V_{T} - max(V_{T}-D, 0) $$

식의 콜옵션 수익구조가 음수이므로, 채권자는 콜옵션 매도포지션을 가진다. BSM 콜옵션 가격결정 모형을 적용하면 자본의 현재가치는 아래와 같이 주어진다.
$$E_{0} = V_{0}N(d_{1}) - De^{-rT}N(d_{2})$$
*$ d_{1} = \frac{ln(\frac{V_{0}}{D})+(r+\frac{\sigma_{V}^{2}}{2})T}{\sigma_{V} \sqrt{T}} $, $ d_{2} = d_{1} - \sigma_{V} \sqrt{T} $

부채는 자산과 자본의 차이다. 기업 부채 구성을 한 개의 무이표채권만 존재하는 것으로 가정하였으므로,
$$ D_{0} = V_{0} - E_{0} $$

구조모형의 이론들은 BSM 모델의 가정을 현실 세계에 맞게 수정하는 방향으로 발전되었다. 예를 들어 부채구조가 하나의 채권으로 이루어진다는 가정을 만기가 다른 다수의 채권을 발행한 것으로 수정하여 신용모형을 전개할 수 있다. 이 경우 자본은 단순 유럽형 옵션(European option)이 아닌 복합옵션(Compound option)으로 평가된다.

채권의 부도확률 _ $ N(-d_{2}) $

BSM 옵션가격결정식 중 $ N(d_{2}) $는 콜옵션이 행사될 확률을 의미한다. 따라서 $ d_{2} $에 마이너스를 붙인 $ N(-d_{2}) $는 콜옵션이 행사되지 않을 확률, 즉 채권의 부도확률(회사가 채무를 이행하지 않을 확률)이 된다^*.
$$E_{0} = V_{0}N(d_{1}) - De^{-rT}N(d_{2})$$
*$ d_{1} = \frac{ln(\frac{V_{0}}{D})+(r+\frac{\sigma_{V}^{2}}{2})T}{\sigma_{V} \sqrt{T}} $, $ d_{2} = d_{1} - \sigma_{V} \sqrt{T} $

부도확률인 $ N(-d{2}) $를 구하기 위해서는 $ E_{0} $(현재 자본가치), $ V_{0} $(현재 자산가치), $ \sigma_{V} $(자산가치의 변동성)을 알아야 한다.

1) 만약 발행사가 상장기업이라면 $ E_{0} $는 시장에서 거래되는 가격(market value of equity)을 직접적으로 관찰할 수 있다.
2) 회사가 발행한 채권의 시장가격이 형성되어 있다면 발행 채권의 현재가치인 $ D_{0} $를 알 수 있다. 이 경우 $ V_{0} $는 $ E_{0} + D_{0} $로 구할 수 있다.
3) 채권이 시장에서 거래되지 않아 가격이 없을 경우, $ E_{0} $에 재무제표 상 부채의 장부가치를 더하여 $ V_{0} $를 구할 수 있다. 그러나 장부가격이 적정 가치를 반영하지 않을 수 있어 잘못된 결론을 얻을 수 있다.
4) Merton model에서 제시한 관계식을 이용하여 $ V_{0}, \sigma_{V} $를 구할 수 있다.
$$ \sigma_{E}E_{0} = N(d_{1})\sigma_{V}V_{0} $$ * $ \sigma_{E} $는 자본(즉 주가의) 변동성이다. 옵션의 내재변동성(Implied volatility) 또는 역사적 변동성(historical volatility)을 사용할 수 있다.

*부도확률 = 콜옵션이 행사되지 않을 확률 = $ N(-d_{2}) $

주식을 기초자산으로 하는 콜옵션을 생각하자. 주가는 아래 과정을 따른다

$ S_{T} = S_{0}e^{(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T + \sigma W_{T}} $

콜옵션은 만기 시 주가 $ S_{T} $가 행사가격 $ K $보다 클 때 행사된다. 만기 시점 주가가 행사가격보다 클 확률은

$ P(S_{T} \geq K) = P(lnS_{T} \geq lnK) $

$ P(lnS_{0} + (\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T + \sigma W_{T} \geq lnK) $

$ W_{T} = \epsilon \sqrt{T} $이므로

$ P(\epsilon \sqrt{T} \geq \frac{lnX-lnS_{0}-(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma}) $

$ P(\epsilon \geq \frac{lnX-lnS_{0}-(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}) $

$ \frac{lnX-lnS_{0}-(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} = -d_{2} $이므로

$ P(S_{T} \geq K) = P(\epsilon \geq -d_{2}) = P(\epsilon < d_{2}) = N(d2) $

따라서 $ N(d_{2}) $는 옵션이 행사될 확률, $ N(-d_{2}) $는 옵션이 행사되지 않을 확률이다. 구조모형(Structural model)에서 기초자산은 회사의 자산( $ V $), 행사가격은 채권상환금액( $ D $)이며 회사의 자본( $ E $)을 콜옵션으로 간주하므로 $ N(-d_{2}) $는 주주가 콜옵션을 행사하지 않을 확률, 즉 부도확률을 의미한다.