듀레이션(Duration)

수정 듀레이션(Modified Duration)

옵션이 내재되지 않은 일반 채권(Option-free Bond)의 듀레이션에 대해 논한다.

채무증권의 개념은 먼 고대에서부터 존재했던 것으로 보인다. 시간이 흘러 채권 발행이 늘어나고 유통시장이 발달하면서, 채권 투자자들은 시장 이자율 변화가 채권 포트폴리오에 어떤 영향을 미치는지 인지할 필요가 생겼다. 주식은 가격이 1% 변동하면 그것이 가치 변동 수준이지만, 채권은 수익률(yield)이 1%pt 변한다고 채권 가치가 1% 변동하는 것이 아니다.

금리가 상승하면 채권 가격은 하락하고, 금리가 하락하면 채권 가격은 상승하는 역의 관계를 보인다. 채권의 가격은 아래와 같이 계산된다. (채권 가격 계산 링크)

$$P=\frac{C}{(1+r)}+\frac{C}{(1+r)^{2}}+\frac{C}{(1+r)^{3}}+\cdots+\frac{C}{(1+r)^{n}}+\frac{M}{(1+r)^{n}}$$
위 식을 r에 대해 1차 미분함으로써 미세한 금리 변화에 따른 채권 가격 변화를 알 수 있다.

$$\frac{\delta P}{\delta r} = \frac{(-1)C}{(1+r)^{2}}+\frac{(-2)C}{(1+r)^{3}}+\cdots+\frac{(-n)C}{(1+r)^{n+1}}+\frac{(-n)M}{(1+r)^{n+1}}$$
정리하면,

$$\frac{\delta P}{\delta r} = -\frac{1}{1+r}[\frac{1C}{(1+r)^{1}}+\frac{2C}{(1+r)^{2}}+\cdots+\frac{nC}{(1+r)^{n}}+\frac{nM}{(1+r)^{n}}]$$
대괄호 안의 항은 “각 현금흐름의 가중평균 만기를 현재가치로 할인”한 값이다. 위 식은 금리의 미세한 변화에 대한 채권 가격의 변화를 나타낸다. 양변을 P로 나눔으로써 수익률(r)의 변화에 따른 가격의 변화율을 구할 수 있다.

$$\frac{\delta P}{\delta r} \frac{1}{P}= -\frac{1}{1+r}[\frac{1C}{(1+r)^{1}}+\frac{2C}{(1+r)^{2}}+\cdots+\frac{nC}{(1+r)^{n}}+\frac{nM}{{(1+r)}^{n}}]\frac{1}{P}$$
위 식에서, 대괄호 항을 P로 나눈 값을 맥컬레이(Macaulay Duration)이라고 한다.

$$Macaulay\:duration=[\frac{1C}{(1+r)^{1}}+\frac{2C}{(1+r)^{2}}\cdots\frac{nC}{(1+r)^{n}}+\frac{nM}{(1+r)^{n}}]\frac{1}{P}=\frac{\sum_{t=1}^{n}\frac{tC}{(1+r)^{t}}+\frac{nM}{(1+r)^{n}}}{P}$$
맥컬레이 듀레이션을 다시 식에 대입하면,

$$\frac{\delta P}{\delta r}\frac{1}{P}=-\frac{1}{1+r}\times Macaulay\:duration$$
맥컬레이 듀레이션을 (1+r)로 나눈 값을 수정듀레이션(Modified duriaton)이라고 한다.

$$\frac{\delta P}{\delta r}\frac{1}{P}=-Modified\:duration$$
수정듀레이션은 수익률(r) 변화에 따른 채권 가격의 변화율(percentage change of bond price)과 관계가 있다. 양변에 Δr을 곱하면,

$$\frac{\delta P}{P}=-Modified\:duration\times\delta r$$
위 식을 이용하여 수익률이 변할 때 채권 가격이 얼마나 변하는 지 알 수 있다. 수정듀레이션을 이용하여 채권의 금리에 대한 민감도, 즉 금리 움직임에 따라 채권 가격이 얼마나 변하는지를 알 수 있으므로, 예상되는 금리 방향에 맞는 적합한 채권 선정 및 포트폴리오 리스크 관리에 매우 유용하게 활용할 수 있다.

채권 가격과 수익률의 관계는 2차 함수의 비선형(non-linear), 즉 곡선의 형태이다. 그러나 수정듀레이션은 채권 가격과 금리 변화를 선형(linear)으로 설명하기 때문에, 수익률 변화에 따른 채권가격 변화율 '근사치'를 구한다는 점을 알아둘 필요가 있다. 가격 함수의 1차 미분값인 수정듀레이션은 미세한 수익률 변동폭에 의미가 있으며 그 변동폭이 클수록 오차도 커지게 된다.

금액 듀레이션(Dollar Duration)

수정 듀레이션은 금리 변화에 따른 채권 가격의 변화율(%)을 나타낸다. 한편 채권 투자자는 가격의 '변화율(%)' 뿐 아니라 가격의 '변동 금액' 그 자체를 알아야 할 수 있다. 수정 듀레이션 식을 다시 보면,
$$\frac{\delta P}{\delta r}\frac{1}{P}=-Modified\:duration$$
양 변에 P를 곱하면
$$\frac{\delta P}{\delta r}=-Modified\:duration*P$$
이 식의 우변을 금액 듀레이션(또는 달러 듀레이션; Dollar Duration)이라고 한다.
$$Dollar\:duration=-Modified\:duration*P$$
양 변에 Δr을 곱하면
$$\delta P = (-modified\:duration)*P*\delta r$$ $$\delta P = dollar\:duration*\delta r$$
금액 듀레이션은 수익률의 미세 변화에 따른 채권 가격 변화분 추정에 유용하다.

맥컬레이 듀레이션(Macaulay Duration)

캐나다 경제학자 Frederick Macaulay는 '채권 만기'를 이자율 변화에 대한 채권 민감도로 사용하는 것이 한계가 있음을 깨닫고 듀레이션 개념을 제시하였다. 채권 만기는 채권의 마지막 현금흐름이 발생하기까지의 기간이다. 듀레이션은 투자자가 '투자한 원금을 회수하기까지의 기간'으로 이해할 수 있다.
$$Macaulay\:duration=[\frac{1C}{(1+r)^{1}}+\frac{2C}{(1+r)^{2}}\cdots\frac{nC}{(1+r)^{n}}+\frac{nM}{(1+r)^{n}}]\frac{1}{P}$$
더 정확히 얘기하면, 듀레이션은 '투자원금(P)'과 '채권의 모든 현금흐름의 현재가치(present value of the bond's cash flows)'가 같아지는 가중평균기간이다.

수정 듀레이션(Modified duriaton) 적용 예

채권가격계산에서 예시를 들었던 국채(18-3)를 다시 보자.

 발행일 : 2018-06-10
 만기일 : 2021-06-10
 매수지점(결제일) : 2018-06-10 (발행일과 같음)
 이표금리 : 2.25%
 ytm : 2.25% 적용 (가격 : 10,000원)

맥컬레이 듀레이션은 2.920, 수정 듀레이션은 2.888로 계산된다. 18-3의 만기는 3년이지만 투자원금 회수는 약 2.92년에 이루어지게 된다. 수정듀레이션은 금리 1 bp 변동에 따른 채권가격 변화율(%)로 해석할 수 있다. 만약 YTM이 1 bp (0.01% = 0.0001) 상승한다면,

$$-2.888\times 0.0001=-0.0002888 또는 -0.02888\%$$
실제로 YTM이 2.25%에서 1 bp 상승한 2.26%가 되면 채권가격은 9,997.115로 계산되어 -0.02885%의 가격 하락이 있게 된다. 수정듀레이션으로 계산한 채권가격 하락률 -0.0289%가 실제 가격 하락률에 매우 근접한 것을 알 수 있다. 다음은 10 bp 금리 상승으로 인한 가격 변동률을 비교해보자. 수정 듀레이션을 적용한 가격 변화율은 아래와 같다.

$$-2.888\times 0.0010=-0.002888 또는 -0.2888\%$$
금리 10 bp 상승으로 YTM이 2.35%가 되면 채권가격은 10,000원에서 9,971.196원으로 하락한다. 하락률은 0.28804%이므로 수정듀레이션으로 계산한 채권가격 변동폭과 매우 근접하나, 수익률이 1 bp 변동할 때보다 오차가 커진 것을 확인할 수 있다. 마지막으로 금리의 100 bp 상승이 있을 경우를 살펴보면,

$$-2.888\times 0.0100=-0.02888 또는 -2.888\%$$
수익률이 2.25%에서 100 bp (1%) 상승한 3.25%가 되면 채권가격은 9,716.349이 되고, 이를 하락률로 계산하면 -2.83651%가 된다. 금리 변화가 크면 수정 듀레이션을 이용한 가격 변화율 근사치가 실제 변화율과 비교했을 때 오차가 커지는 것을 발견할 수 있다.

포트폴리오 듀레이션(Portfolio Duration)

포트폴리오의 듀레이션은 포트폴리오 내 보유하는 채권의 가중평균 듀레이션이다. 포트폴리오 내 옵션부 채권이 있다면 수정 듀레이션이 아닌 유효 듀레이션(Effective duration)을 적용하여아 하며, 변동금리 채권의 경우엔 다음 이자지급일까지의 기간을 듀레이션으로 사용한다. MBS와 같이 원금상각형 채권 또한 Negative Convexity를 반영한 유효 듀레이션(Effective duration)을 쓴다.

채권	시가평가(market value)	비중	듀레이션(duration)	듀레이션 공헌 (contribution to portfolio duration)
가	200억	0.2	3	0.60
나	300억	0.3	8	2.40
다	100억	0.1	1	0.10
라	500억	0.4	7	2.80
합계	1000억	1.0	-	5.40