선도금리(forward rate)
시장에서 거래되는 무위험 채권 금리를 통해 직접적으로 관측 가능하지 않은 현물 금리(spot rate)을
추정할 수 있음을 알았다. 이 이론적 수익률 곡선을 통해 ‘시장이 반영하는 미래의 금리’를 추정할 수 있다.
이를 선도금리(forward rate)라고 부른다.
1년의 투자기간을 계획하는 투자자가 현물 금리로 투자 가능한 아래 두 개 선택지를 가진다고 하자.
1) 1년 만기 무이표채 매수, 0.696%
2) 6개월 만기 무이표채 매수(0.518%), 6개월 이후 6개월 만기 무이표채 재투자
| [참조]Bootstrapping을 이용해 구한 현물 수익률(과정 링크). | |||
| 잔존 만기 | 기간 표시 | YTM(%) | Spot rate(%) |
| 6개월 | t1 | 0.518 | 0.518 |
| 1년 | t2 | 0.695 | 0.696 |
| 1년 6개월 | t3 | 0.820 | 0.822 |
| 2년 | t4 | 0.930 | 0.931 |
투자자가 1년 만기 무이표채를 매수한다면 투자자는 1년 간 연 0.696%의 수익을 얻을 것이다. 반면 투자자가 2번 선택지를 선택한다면 현재 시점에서 투자자의 최종 수익률은 알 수 없다. 6개월 만기 무이표채에 투자하여 6개월 동안 연 0.518%의 수익을 올리고 이후 다시 6개월 만기 무이표채에 재투자를 해야 하는데, 이 때 재투자 수익률을 현재 시점에서 알 수 없기 때문이다. 어느 것이 투자자에게 더 좋은 선택지가 될 것인가? 그것은 현재 시점에서 알 수 없다. 다만 투자자가 어떤 것을 선택할지는 투자자의 미래 수익률에 대한 기대, 즉 6개월 뒤 6개월 만기 현물 수익률이 얼마가 될 것인지에 대한 투자자의 예상에 따른다.
여기서,
z1 = 1기(6개월) spot rate
z2 = 2기(1년) spot rate
f = forward rate (6개월 뒤 1기간의 수익률)
라고 하자. 이 때 투자자가 1번을 선택하든 또는 2번을 선택하든 동일한 투자결과를 가져오는 선도금리 f 가 존재한다. 투자자가 1원을 투자한다면 1년 뒤 결과는 다음과 같다.
$$1번을\:선택할\:경우\:: (1+z_{2})^{2}$$
$$2번을\:선택할\:경우\:: (1+z_{1})(1+f)$$
즉,
$$(1+z_{2})^{2} = (1+z_{1})(1+f)$$
$$f = \frac{(1+z_{2})^{2}}{(1+z_{1})} -1$$
위 현물금리 수익률 곡선으로부터 선도금리를 구하면 아래와 같다.
$$1년\:만기\:무이표채\:투자\:= (1+\frac{0.00696}{2})^{2}=1.006972$$
$$6개월\:만기\:무이표채\:투자\:후\:6개월\:재투자\:=(1+\frac{0.00518}{2})(1+f)=1.00259(1+f)$$
$$(1.00259)(1+f)=1.006972$$
$$f=0.437068%$$
여기서 논의하는 모든 무위험 금리는 반기 지급이므로 1년(2기간 지급) 미래가치 계산 시 복리 계산(2로 나눈 후 제곱)을 한다. 마찬가지로 계산 결과로 나온 선도금리는 반기 금리이므로 2를 곱하여 연율화 한 Bond-equivalent yield(0.437068% * 2 = 0.874136%)로 표시하면 된다.
두 가지 선택지에 대해서 어떤 것이 더 좋은 투자 대안이 될 것인지에 대해서는 투자 시점에서 알 수 없다고 했다. 또한 투자자가 1년 만기 무이표채를 살 지, 혹은 6개월 후 재투자를 선택할 지는 투자자의 미래 금리에 대한 예상에 달렸다고 언급했다. 현재 6개월 금리는 0.518%인데 투자자는 6개월 뒤 6개월 금리가 0.518% 보다 높을 것으로 예상한다. 그렇다면 투자자는 2번을 선택하는 것이 유리할까? 그렇지 않다. 선도금리를 구하며 보았듯이 6개월 뒤 6개월 금리가 0.874% 수준이 되어야 1번 투자와 동일한 결과를 내기 때문에, 2번 선택지를 선택한다면 미래 6개월 금리가 0.874% 이상이 되어야 1번 선택지보다 더 우수한 결과를 가질 수 있다.
추가로 위 수익률 곡선에 내재된 1년 뒤 1년 수익률을 구하면 다음과 같다.
$$(1+z_{4})^{4}=(1+z_{2})^{2}(1+f)^{2}$$
$$(1+\frac{0.00931}{2})^{4}=(1+\frac{0.00696}{2})^{2}(1+f)^{2}$$
$$f=0.005831$$
1년 뒤 1년 선도금리는 1.166%이다(소수점 셋째 미만 절사).
순간선도금리(instantaneous forward rate)
채권의 이자지급 횟수를 무한대로 쪼개면 연속복리(continuous compounding)가 되는 것을 확인한 바 있다. 특정 만기(t)를 가지는 무위험 수익률 r을 r(t), 자본화계수(capitalization factor)를 C(0, t), 할인계수(discount factor)를 Z(0, t)라고 할 때
$$C(0, t) = exp(r(t)t)$$
$$Z(0, t) = exp(-r(t)t)$$
$$r(t)=-\frac{1}{t}lnZ(0, t)$$
이전 과정을 통해 구한 현물수익률을 다시 적어보자.
| 잔존 만기 | 기간 표시 | YTM(%) | Spot rate(%) | Discount factor 표시 |
| 6개월 | t1 | 0.518 | 0.518 | Z(0, t1) |
| 1년 | t2 | 0.695 | 0.696 | Z(0, t2) |
| 1년 6개월 | t3 | 0.820 | 0.822 | Z(0, t3) |
| 2년 | t4 | 0.930 | 0.931 | Z(0, t4) |
현재 시점(0)에서 1기~2기의 선도할인계수(forward discount factor)를 Z(0; t1, t2)라고 하면 아래의 식이 성립한다.
$$Z(0, t_{1})Z(0; t_{1}, t_{2})=Z(0, t_{2})$$
f(0; t1, t2)를 현재 시점(0)에서 1~2기의 선도금리(forward rate)이라고 할 때,
$$Z(0; t_{1}, t_{2})=exp(-f(0; t_{1},t_{2})(t_{2}-t_{1}))$$
$$f(0; t_{1}, t_{2})=-\frac{ln(Z(0, t_{2}))-ln(Z(0, t_{1}))}{t_{2}-t_{1}}=\frac{r_{2}t_{2}-r_{1}t_{1}}{t_{2}-t_{1}}$$
2기와 1기의 기간 차이(ε = t2 - t1)를 0에 수렴할 때 f의 극한값을 f(t)로 표시하고, 이를 순간선도금리(instantaneous forward rate)라고 한다.
$$f(t)=\lim_{\epsilon \to 0}f(0; t, t+\epsilon)=-\frac{d}{dt}ln(Z(t))$$
$$f(t)=\frac{d}{dt}r(t)t$$
적분하면,
$$r(t)t=\int_{0}^{t}f(s)ds$$
$$Z(t)=exp(-\int_{0}^{t}f(s)ds)$$