선도(forward)와 선물(futures) 가격 결정
선도(forward)와 선물(futures)은 기본 속성은 같으나 제도적 차이점도 존재한다. 때문에 같은 기초자산,
동일 만기 등 계약 조건이 동등하더라도 이론적으로 선도와 선물의 가격은 차이가 있을 수 있다.
증거금(margin) 제도와 일일정산(marking to market) 시스템, 거래비용, 세금 차이에 따라 선도와
선물 가격은 달라질 것이다.
선도와 선물 모두 만기에 가까워질수록 가격은 현물가격에 수렴한다. 이는 동일 만기, 동일 기초자산을 가지는
선도와 선물 가격이 시간이 지남에 따라 거의 같아진다는 뜻으로, 선도 가격과 선물 가격은 동일하다고 가정할 수
있는 근거가 된다. 일일 정산을 하는 선물(futures)과 달리 선도(forward) 계약은 만기 시점에 한 번 결제를
하므로 가격 분석이 상대적으로 쉽다. 때문에 선물 가격 결정식 또한 선도와 같다고 가정하는 것이 보통이다.
아래 가격 결정식에서는 용어를 '선도(forward)'로 통칭하되 '선물(futures)'을 혼용한다.
무위험 수익률 등은 모두 연속복리(continuous compounding)를 적용한다.
기초자산
선도, 선물 계약은 미래 어떤 자산을 거래할 지 약속하는 것으로, 이 자산을 '기초자산'이라고 한다. 기초자산은 크게 '투자자산(investment asset)'과 '소비자산(consumption asset)'으로 구분할 수 있다. 차익거래(arbitrage)는 파생상품의 균형가격결정에 중요한 역할을 하는데 투자자산(investment asset)을 기초자산으로 하는 선도 계약은 차익거래를 기반으로 가격을 구할 수 있다. 소비자산(consumption asset)의 선도가격은 차익거래 메커니즘이 적용되지않는다.주식, 채권은 투자자산에 해당되는 대표적인 증권이다. 금, 은과 같은 귀금속은 산업용 소재로 이용되나 투자 목적의 보유도 상당하기 때문에 투자자산으로 분류할 수 있을 것이다. 소비자산의 예는 원유(crude oil), 구리(copper) 등이 있다.
가정
1) 거래 시 시장참여자에게 부과되는 거래 비용은 없다.2) 모든 시장 참여자에게는 동일 세율이 부과된다.
3) 모든 시장 참여자는 무위험 수익률(이자율)에 차입과 대출이 가능하고, 기초자산의 공매도 또한 자유롭다.
4) 차익거래(arbitrage) 기회 발생 시 시장 참여자는 바로 참여하여 수익을 추구한다.
현금흐름이 없는 투자자산의 선도 가격 결정
선도 계약 기간 중 현금흐름이 없는 투자자산은 이자를 지급하지 않는 할인채 혹은 배당을 지급하지 않는 주식이 있을 것이다. 여기서는 배당을 지급하지 않는 주식(non-dividend-paying stock)을 기초자산으로 하는 3개월 선도 계약을 살펴보자.- 주식의 현재가(S0) : 10,000원
- 3개월 무위험 수익률(r) : 4% (연; annually)
만약 현재의 선도가격(F0)이 10,150원이라면, 투자자에게 차익거래(arbitrage)가 발생한다.
1) 투자자는 연 4%에 10,000원을 차입
2) 차입한 10,000원으로 주식 매수
3) 3개월 뒤에 10,150원에 주식을 매도하는 선도 계약 체결
3개월 뒤 투자자가 상환해야 할 원리금은 다음과 같다.
$$10,000원 * e^{0.04*\frac{3}{12}} = 10,100.50원$$
3개월 뒤 투자자는 10,150원에 주식을 매도하고 3개월 간의 이자를 포함한 원리금 10,100.50원을 상환한다. 이 거래로부터 투자자가 얻는 이익은
$$10,150원 - 10,100.50원 = 49.50원$$
위와 같은 차익거래의 기회가 존재하면 시장 참여자들은 차입을 통해 주식을 매수하고 동시에 3개월 선도계약을 매도할 것이다. 시장참여자들의 수익 추구에 의하여 주식의 수요는 증가, 주가는 올라가고 선도가격은 하락할 것이다. 이러한 가격 조정은 수익 기회가 없어질 때까지 지속된다.
이번엔 현재 시장에서 선도가격(F0)이 10,050원으로 형성되어 있다고 가정하자. 그렇다면 방금과는 반대의 거를 통해 차익거래가 가능하게 된다.
1) 투자자는 주식을 차입하여 10,000원에 공매도
2) 주식 공매도 수익금 10,000원을 3개월 간 무위험 수익률(연 4%)로 운용
3) 3개월 뒤에 10,050원에 주식을 매수하는 선도 계약 체결
투자자의 주식 매도 금액 10,000원은 3개월 뒤 10,100.50원이 된다.
$$10,000원 * e^{0.04*\frac{3}{12}} = 10,100.50원$$
선도계약 만기 시점에 투자자는 주식을 10,050원에 인도받고, 이것으로 공매도를 위해 차입한 주식을 상환한다. 이를 통해 투자자는 50.50원의 수익을 얻는다.
$$10,100.50 - 10,050원 = 50.50원$$
차익거래의 기회는 주식 매도를 촉발하여 주가를 하락시키고 선물 가격을 올릴 것이다. 이 과정이 언제까지 지속될 것인가? 차익거래가 발생하지 않도록 하는 가격으로 조정될 때까지 거래가 계속 일어남으로써 균형 가격을 찾을 것이다. 여기서 우리는 수익 기회가 존재하지 않는 선도가격(F0)은 10,100.50원이라는 것을 알 수 있다.
선물가격 결정을 일반화시키면 다음과 같다.
$$F_{0} = S_{0}e^{rT}$$
r은 무위험수익률(risk-free rate), T는 만기까지의 잔존기간이다. 위 예시에서 주식의 선도 이론가격을 구하면 다음과 같다.
$$F_{0} = S_{0}e^{rT} = 10,000원*e^{0.04*\frac{3}{12}} = 10,100.50원$$
확정된 현금흐름을 지급하는(Known income) 투자자산의 선도 가격 결정
미래 확정된 현금흐름, 또는 높은 신뢰성을 가지고 미래 현금흐름을 예측할 수 있는 투자자산의 예로 '정기적으로 이자를 지급하는 채권'이 있다(또는 배당을 확정한 주식도 해당되겠다). 이자를 지급하는 이표채를 다음과 같이 가정하여 차익거래(arbitrage)와 선도 가격을 알아보자.- 채권의 현재가(S0) : 9,000원
- 채권 이자 : 100원, 6개월 뒤 지급 예정
- 선도계약 만기 : 9개월
- 무위험 수익률(r) : 6개월 무위험 수익률 4%, 9개월 무위험 수익률 5%
위 기초자산 선도의 현재가격(F0)이 9,300원이라고 가정하자. 차익거래자(arbitrageur)는 자금을 차입하여 시장에서 채권을 매수하고, 동시에 '9개월 뒤 채권을 매도하기로 약정하는' 선도 매도 계약을 체결하여 차익을 얻을 수 있다. 채권을 매수한 투자자는 6개월 뒤 100원의 이자를 지급받을 예정이므로 차입자금 9,000원 중 98.02원은 6개월 금리 4%에 차입하고, 6개월 뒤 채권 이자로 원리금을 상환한다.
$$채권 이자 금액의 현재가치(I) = 100원*e^{-0.04*\frac{6}{12}} = 98.02원$$
1) 투자자는 9,000원을 차입하여 채권 매수. 이 때 9,000원 중 98.02원(기초자산 중간 현금흐름의 현재가치)은 6개월 금리 4%에 차입하여 6개월 뒤 상환. 8,901.98원은 5%에 차입하여 선도 만기 시점인 9개월 뒤 원리금 상환
2) 현재 시점에 채권을 매수함과 동시에 9개월 뒤 9,300원에 채권을 매도하는 선도 계약 체결
9개월 뒤 투자자가 상환해야 할 금액은 9,242.14원이 된다.
$$8,901.98원 * e^{0.05*\frac{9}{12}} = 9,242.14원$$
투자자는 9,300원에 채권을 매도하는 선도계약을 체결했으므로, 선도 만기 시점 투자자의 차익거래 손익은 다음과 같다.
$$9,300원 - 9,242.14원 = 57.86원$$
만약 선도가격(F0)이 9,242.14원 보다 낮다면 반대의 거래를 통해 차익거래가 일어날 것이며, 시장은 이러한 기회가 존재하지 않는 균형가격을 찾도록 작동할 것이다.
일반화하면,
$$F_{0} = (S_{0}-I)e^{rT}$$
여기서 I는 예측가능한 현금흐름을 현재가치로 할인한 값이다. 위 예에서는 6개월 뒤 지급될 채권 이자금액의 현재가치가 되겠다.
확정된 수익률을 제공하는(Known yield) 투자자산의 선도 가격 결정
계약기간 중 '현금흐름'이 발생할 것이 확실한 투자자산은 '기초자산 현재가 대비 수익률'로 표시될 수 있을 것이다. 현재 시점에서 미래 확정된 수익률을 제공하는 기초자산의 선도 가격은 다음과 같다.$$F_{0} = S_{0}e^{(r-q)T}$$
여기서 q는 선도계약 기간 동안 기초자산이 제공하는 연속복리(continuous compounding)로 표현된 연(per annum) 수익률이다.
q는 연속복리이므로 만약 기초자산의 수익률 단위가 다르다면(ex. 분기복리, 반기복리 등) 이를 연속복리로 환산하여 계산할 필요가 있다.
주가지수(stock index)를 기초자산으로 하는 선물(futures) 계약은 한국을 비롯한 주요국 전 세계 거래소에서 매우 활발히 거래되고 있으며 주식 관련 트레이딩에서 빠질 수 없는 거래 상품일 것이다. 주가지수는 상장된 주식의 포트폴리오이므로 배당(dividend)을 지급하는 투자자산(investment asset)이다. 주가지수 선물 관련하여 미래 배당은 현재 시점에서 '확정된 수익률(known yield)'로 가정하는 것이 일반적이다. 배당수익률(dividend yield)을 q로 놓는다면 주가지수의 선물가격(F0)은 선물계약 기간 동안 r-q 만큼 지수함수로 증가한다. 만약 r>q라면 선물의 가격은 현재의 주가지수보다 높게, r<q라면 선물 가격은 주가지수의 현재가보다 낮게 형성된다.