선도(forward)와 선물(futures) 가격 결정_2

통화선도 계약(forward contract on foreign exchange rate)

통화선물(또는 통화선물)은 달러, 엔 같은 외화를 기초자산으로 하는 선도 계약이다. 환율은 "$1 = ￦1,200원" 처럼 "한 단위의 외화와 교환되는 원화"로 표시하는 것이 보통이며 이를 직접표기법이라고 한다. 이는 1,200원과 1달러를 교환할 수 있다는 뜻이며, $1,000,000을 사고자 한다면 ￦1,200,000,000을 지불하게 된다. 자국 통화 한 단위를 외국통화로 표시하는 방식은 간접표기법이다(Ex. ￦1 = $0.000833).

파생상품 영어 원서에서는 '미국'을 '국내'로 설정하고 미국 투자자 입장에서 환율을 소개하는 것이 보통이다. 금융시장에서의 달러 표기는 보통 $1를 타 국가의 통화로 표시하는데, 미국 투자자의 입장에서 이는 간접표시법이 된다. 반면 영국의 파운드화, 유로화, 호주달러, 뉴질랜드 달러에 대해서는 "€1 = $1.0790"과 같은 직접표기법을 사용한다.

외환(foreign currency)의 균형 선도가격은 국내 이자율과 해외 이자율을 반영하여 결정된다. 외환은 해당 국가의 무위험 수익률(risk-free rate)을 얻을 수 있다는 점(또는 무위험 이자율로 차입할 수 있다는 점)이 다른 투자자산(investment asset)과의 차이다.

국내 투자자가 1,000 달러를 보유하고 있다고 가정하자. 달러를 보유한 투자자는 두 가지 선택지가 있다.

1) 현시점에 현물환율(S0)에 원화로 환전하여, 국내 무위험수익률(r)로 1년간(T) 투자
2) 현시점에 외화(달러)를 그대로 해외 무위험수익률(rf)로 1년간(T) 투자하고, 동시에 선도환율(F0)로 1년 뒤 외화를 매도하는 선도 매도 계약 체결

1년 뒤 투자자의 자산은 아래와 같다.

1) 현시점에 S0로 환전(달러매도)한 경우 : $$1,000*S_{0}*e^{rT}$$
2) 1년 뒤 F0로 달러매도한 경우 : $$1,000*e^{r_{f}T}*F_{0}$$

무위험 차익거래(arbitrage)가 일어나지 않으려면 1번과 2번의 가치가 같아야 한다.
$$1,000*S_{0}*e^{rT} = 1,000*e^{r_{f}T}*F_{0}$$
정리하면,
$$F_{0}=S_{0}*e^{(r-r_{f})T}$$
이는 국제금융론에서 이자율평형이론(Interest rate Parity)로도 널리 알려져 있다.

국내 이자율과 해외 이자율 차이, 현물환율과 선물환의 불균형이 존재한다면 차익거래(arbitrage)가 발생할 것이다. 아래와 같이 시장이 형성되어 있다고 가정하자. 환율은 1달러에 대한 원화의 교환비이다.

  - 현물환율(S0) : 1,200.00원
  - 1년 선도환율(F0) : 1,150.00원
  - 국내 1년 무위험 수익률(r) : 3.5%
  - 미국 1년 무위험 수익률(rf) : 5.25%
투자자는 아래의 거래를 통해 무위험 수익를 얻을 수 있다.

1) 투자자는 해외(미국) 금융기관을 통해 연 5.25%로 1,000달러 차입
2) 차입한 1,000달러를 현재 환율 1,200원에 매도(원화 1,200,000 매수)
3) 원화 1,200,000을 국내 이자율 3.5%로 1년 간 예치(투자)
4) 1, 2, 3번과 동시에 '1년 뒤 $1,053를 1,150원에 매수하는' 선도 계약 체결

투자자가 국내 이자율로 운용한 자금은 1년 뒤 ￦1,242,743이 된다. 소수점은 절사하였다.
$$1,200,000*e^{0.035*1}=1,242,743$$
투자자가 1년 뒤 상환해야 할 달러의 원리금은 $1,053이다.
$$1,000*e^{0.0525*1}=1,053$$
$1,053을 매수하여 원리금을 상환한다. 최초 거래 시점에 달러를 매수하는 선도 매수 계약을 했으므로 적용 환율은 선도 계약 환율인 1,150.00원이다. 외화 원리금 $1,053을 매수하기 위해 필요한 원화는 다음과 같다.
$$$1,053*1,150.00 = 1,210,950$$
일련의 거래로 얻게 된 무위험 수익은 ￦31,793이 된다.
$$1,242,743 - 1,210,950 = 31,793$$
위 예시에서 달러 선도의 균형 가격은 다음과 같다.
$$F_{0}=S_{0}*e^{(r-r_{f})T}$$ $$1,200*e^{(0.035-0.0525)*1}=1,179.18$$
만약 시장에서 1년 선도환율이 1,179.18원보다 높게 형성되어 있다면 위 거래의 반대 거래를 통해 무위험 수익을 추구할 수 있다. 이자율패리티는 두 국가 간 자금 이동에 제약조건이 없다는 가정을 하는데, 현재 선진 주요국들은 투자자금의 이동이 충분히 자유로운 자본시장을 가지므로 이 이론이 상당 수준 적용된다고 볼 수 있을 것이다.

상품선물(Futures on Commodities)의 가격 결정 _ 금(Gold), 은(Silver)

금(Gold), 은(Silver)은 금융자산은 아니지만 유의미한 규모의 투자자(significant number of investors)가 온전히 투자 목적으로 금은을 보유한다는 점에서 투자자산으로 분류할 수 있다. 국내에서는 희귀하지만, 금융시장 및 상품 실물 관련 시장이 더 정교하게 발달된 해외의 경우 금, 은 보유자(ex. 중앙은행, 상업은행 등)로부터 금은 실물을 임대(lease)할 수 있다.

광산 회사(mining company)는 천연광물을 채굴, 제련하는 기업이다. 광산업체 입장에서는 금은을 채굴하기까지 일정 기간이 소요되기 때문에 미래 가격 불확실성에 노출된다. 채굴이 완료되어 금은을 시장에 매각할 때 시장 가격이 낮게 형성되어 있으면 회사는 손실을 입을 것이다. 광산회사가 이를 헷지(hedge)하고자 투자은행(investment bank)과 '현재 약정한 가격으로 1년 뒤 금을 매도(sell)'하는 선도 계약을 했다고 하자. 투자은행은 '현재 약정된 가격으로 1년 뒤 금을 매수(buy)'하는 매수 포지션(long position)을 보유하게 되었고 가격 하락 위험을 떠안게 되었다. 투자은행은 이 포지션을 어떻게 중립(neutral)으로 만들까? 투자은행은 중앙은행으로부터 선도 계약에 약정된 수량만큼의 금을 빌려 바로 현물 시장(spot market)에 매도하고, 매도대금을 무위험 수익률(risk-free rate)로 운용, 선도 계약 만기 시점에 광산회사로부터 금을 매입하여 임대료(lease rate)와 함께 중앙은행에 상환한다. 투자은행은 광산회사에게 선도 가격(forward price)을 제시할 때 무위험 수익률과 임대료를 고려하여 가격결정(pricing)하였을 것이다.
(출처 : Options, Futures, And Other Derivatives 내용 중 참조)

보유자 입장에서 금은은 임대료(lease rate)와 같은 수익(income)을 발생시킨다. 한편 금은 실물을 보관하게 되면 이를 보관하기 위한 비용(ex. 상품 저장을 위한 창고료, 보험료 및 기타)이 발생하는데 이는 보관비용(storage cost)이다.

만약 수익과 보관비용이 없다면, 금은 선도가격은 현금흐름을 발생시키지 않는 투자자산의 선도 가격과 같을 것이다.
$$F_{0}=S_{0}e^{rT}$$
여기에 보유자 수익(income)과 보유비용(storage cost)을 추가한다. U를 '수익을 제한 보관비용(storage cost, net of income)'의 현재가치라고 한다면,
$$F_{0}=(S_{0}+U)e^{rT}$$
U는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다. 금은의 보유비용이 발생하는 수익보다 크다면 양수가 된다.

수익을 제한 보유비용(storage cost, net of income)은 가격 대비 비율(rate)로 쓸 수 있다.
$$F_{0}=S_{0}e^{(r+u)T}$$

상품선물(Futures on Commodities)의 가격 결정 _ 소비자산(Consumption asset)

소비자산으로 분류되는 상품은 보유하는 동안 수익(income)은 없고 보관비용(storage cost)만 발생하는 것이 보통이다(원유나 옥수수를 빌려갈 사람은 없을 것이다). 한편 '선도·선물 가격 결정' 도입부에서 소비자산(consumption asset)의 선도·선물 가격은 차익거래를 통한 균형가격이 결정되지 않는다고 말한 바 있다.

먼저 상품선물(futures on commodities) 가격이 아래와 같다고 하자.
$$F_{0}>(S_{0}+U)e^{rT}$$
투자자는 S0+U 에 해당하는 자금을 차입, 현물시장에서 상품을 구매함과 동시에 선물을 매도한다. 선물 만기까지의 기간 동안 발생하는 보관비용을 부담하더라도 $$F_{0} - (S_{0}+U)e^{rT}$$의 수익이 발생할 것이다. 시장은 균형을 찾을 것이며, 이는 투자자산과 소비자산 모두 마찬가지이다. 선물 가격이 이론가보다 높을 경우에는, 보유하고 있는 자산을 매도하거나 차입 매도하지 않기 때문에 소비자산(consumption) 또한 균형 가격을 찾는다.

이제 선물 가격이 이론가(또는 균형가격)보다 낮다고 가정하자.
$$F_{0}<(S_{0}+U)e^{rT}$$
선물의 기초자산이 투자자산(investment asset)이라면 아래 프로세스를 통해 위험 없는(riskless) 수익을 올릴 수 있다.

1) 현물시장에서 현재가(S0)에 보유 자산 매각, 이에 따른 보관비용 절감, 매각 대금은 무위험 이자율에 투자
2) 선물 매수(buy futures)

위 거래를 통해 $$(S_{0}+U)e^{rT}-F_{0}$$의 무위험 수익이 발생할 것이다. 그러나 기초자산이 만약 소비자산(consumption asset)이라면, 소비자산을 보유하고 있는 경제주체(기업이나 개인)는 차익거래의 기회가 있어도 참여하지 않을 가능성이 매우 높다. 자산의 보유가 생산활동 목적의 재고 유지를 포함한 경영 목표 및 기타 목적을 위한 보유일 가능성이 매우 높기 때문에, 현재 보관하고 있는 소비자산을 매도하지 않을 것이다. 따라서 균형가격 발견을 위한 시장 거래는 일어나지 않을 것이다.

결국, 기초자산이 소비자산(consumption asset)인 선물의 가격은 다음과 같이 형성된다는 것을 알 수 있다.
$$F_{0}\leq (S_{0}+U)e^{rT}$$
보관비용 U를 가격 대비 비율인 u로 표시한다면
$$F_{0}\leq S_{0}e^{(r+u)T}$$