옵션 민감도(Greeks)

옵션 민감도는 특정 변수(ex. 기초자산 가격) 변화에 대한 옵션 가격의 민감도를 나타내는 지표로, 그리스 문자(Greek)를 사용하기 때문에 보통 그릭스(Greeks)라고 부른다. 옵션 가격결정식(블랙숄즈머튼 공식: BSM모델)에서 확인할 수 있듯 옵션 가격에 영향을 미치는 변수로는 기초자산의 가격(price of underlying asset), 시간(time to maturity), 금리(risk-free rate) 등이 있으며, 각 변수가 변할 때 옵션의 가격이 어떻게 얼마나 변하는지를 측정할 수 있는 지표로 그리스 문자를 써서 표기한다.

먼저 변수에 대한 옵션 가격의 변화를 간단히 정리하면 다음과 같다. 옵션은 주식을 기초자산으로 하는 주식옵션을 가정한다.

		콜옵션 가치	풋옵션 가치
주식 가격	↑	↑	↓
	↓	↓	↑
변동성	↑	↑	↑
	↓	↓	↓
잔존만기	↑	↑	↑
	↓	↓	↓

누구나 짐작하듯 주식 가격의 상승은 콜옵션의 가치 상승과 풋옵션의 가치 하락으로 이어진다. 반대로 주식 가격이 하락한다면 콜옵션의 가치는 떨어지고 풋옵션의 가치는 상승하게 된다. 기초자산의 변동성 확대가 있을 경우, 옵션 행사의 가능성이 커지므로 콜옵션과 풋옵션 모두 가치가 올라간다. 마지막으로 옵션 만기에 가까워질수록 옵션의 잔존만기는 짧아지고 이는 '옵션 행사를 통한 수익의 기회가 줄어드는 것'을 의미하므로 옵션의 가치는 떨어지게 된다.

다음은 특정 변수에 대한 옵션 가격의 민감도를 나타내는 지표를 정리한 표이다.

Greek Letters		의미
\( \Delta \)	델타(Delta)	기초자산 가격 변화에 대한 옵션가격의 변화량. 기초자산 가격이 1만큼 증가했을 때 옵션의 가격은 얼마나 변하는가를 나타내는 정도
\( \Gamma \)	감마(Gamma)	기초자산 가격 변화에 대한 옵션 델타의 변화
\( \Theta \)	쎄타(Theta)	시간, 즉 잔존기간 변화에 따른 옵션가격의 변화량
V	베가(Vega)	기초자산 변동성 변화에 따른 옵션가격의 변화량
Rho	로(Rho)	금리(무위험) 변화에 따른 옵션가격의 변화 정도

델타(Delta)

기초자산 가격 변화에 따른 옵션 가격 변화량을 델타라고 하였다. 먼저 만기 이전 콜옵션 가격과 기초자산 가격의 관계를 그래프로 그려보면 다음과 같다.



주가 변화에 따른 콜옵션 가격의 변화를 구하고자 하므로, 블랙-숄즈-머튼(BSM) 콜옵션 공식을 주가(S)로 편미분하면 델타를 구할 수 있다. 먼저 BSM 식은 아래와 같다.
$$c = S_{0}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$$
*\( d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \), \( d_{2} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r-\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)

콜옵션의 델타는
$$\Delta=\frac{\partial c}{\partial S}=N(d_{1})+SN^{\prime}(d_{1})\frac{\partial d_{1}}{\partial S} - Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2})\frac{\partial d_{2}}{\partial S} $$

\( SN^{\prime}(d_{1})\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2})\frac{\partial d_{2}}{\partial S} \)이므로
$$ \frac{\partial c}{\partial S} = N(d_{1}) $$

*BSM 공식의 \( S_{0} \)를 Greeks 파트에서는 \( S \)로 표기하였다.
*\( SN^{\prime}(d_{1})\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2})\frac{\partial d_{2}}{\partial S} \) 도출은 포스팅 맨 아래


같은 방식으로 풋옵션의 델타는 \( N(d_{1})-1 \)이 된다.

Ex)
N사 주식을 기초자산으로 하는 콜옵션에 대해 알아보자.

  - N주식 현재가(S) : 180,000원
  - N주식 콜옵션 행사가(K) : 170,000원
  - 옵션 만기까지의 잔존기간: 2개월(T=0.170)
  - 무위험 금리(r) : 연 3.5%
  - 변동성(\( \sigma \)) : 30% (연)

조건이 위와 같다면 콜옵션의 가치는 15,200원, 델타는 0.716이 된다.
$$ d_{1}=\frac{ln(\frac{180,000}{170,000})+(0.035+\frac{0.3^{2}}{2})*0.17}{0.3*\sqrt{0.17}} = 0.5722 $$ $$ d_{2} = d_{1} - \sigma \sqrt{T} = 0.7164-0.3*\sqrt{0.17} = 0.4485 $$ $$ c = 180,000*N(0.5722) - 170,000*e^{-0.35*0.17}N(0.4485) = 15,200.39 $$ $$ Delta = N(0.5722) = 0.7164 $$

N사 주가가 1,800원(1%) 상승한다면 콜옵션은 약 1,289원(8.48%) 상승한다.

델타헷지(Delta hedge)

금융기관(financial institution)의 비즈니스 특성상 옵션 매도 포지션을 가지게 되는 상황이 생길 수 있다. ELS 발행으로 인해 증권사가 주식 옵션 매도 포지션을 가지게 되는 것이 주변에서 볼 수 있는 대표적인 예가 될 것이다. 혹은 특정 투자기관의 요청으로 니즈에 맞게 설계한 옵션을 매도하는 경우도 생각해볼 수 있다.

증권사는 기본적으로 특정 자산, 혹은 특정 계약에 대한 노출(exposure)을 좋아하지 않는다. 따라서 옵션 매도 포지션에 대한 헷지(hedge)가 요구되는데, 이 때 수행할 수 있는 헷지 거래 중 하나가 델타헷지(delta hedge)이다.

델타헷지는 기초자산의 가격변화에 대한 옵션가격 변화량을 나타내는 델타값에 근거하여, 적절한 수량의 기초자산을 보유하여 옵션 포지션의 손익과 기초자산의 손익을 상쇄시키는 헷지거래이다. 예를 들어 증권사가 위의 N주식 1주에 대해 콜옵션 매도 포지션이 있다고 가정하자. 델타가 0.716이므로 증권사는 N주식 0.716주를 보유하면 된다. 만약 주가가 1,000원 상승한다면 콜옵션은 716원(1,000원*0.716) 상승한다. 매도포지션인 증권사는 옵션포지션에서 716원의 손실이 발생하는 한편 N주식 0.716주에서 716원(1,000원*0.716주)의 이익이 발생하고, 손익은 상계된다.

만약 증권사가 N주식 10,000주 규모의 콜옵션 매도 포지션이 있다고 가정한다면 증권사는 7,160주의 주식을 매수함으로써 포지션 헷지를 할 수 있다. N사 주식 가격은 180,000원, 콜옵션 가격은 위에서 계산한 것과 같이 15,200원이다.

  1) 헷지를 위해 매수해야 할 주식 수량 = 10,000*0.716 = 7,160주
  2) 만약 N주식 가격이 1,800원(1%) 상승한다면
    - 콜옵션 가격 변화 = 1,800원*0.716 = 1,288원 (원 미만 절사)
    - 콜옵션 매도 포지션에서 발생하는 손실 = 1,288원*10,000주 = 12,880,000원
    - 보유 주식에서 발생하는 이익 = 1,800원*0.716주 = 12,888,000원

옵션 매도 포지션의 손실금액이 기초자산 주식에서 발생하는 이익과 상계처리되어 헷지 목표가 달성된 것을 확인할 수 있다. (차액 8,000원은 소수점 절사에 따른 차이).

기초자산인 주가 변화로 인하여 발생하는 옵션 가격의 변화분을 델타(delta)라고 하였다. 주가가 움직이면 옵션 포지션에서 손실이나 이익이 발생하는 바, 델타헷지를 통해 옵션 포지션 손익에 변함이 없게 하였다. 이 때 해당 포지션을 델타중립 (delta-neutral)이라고 표현한다.

동적델타헷지(Dynamic Delta Hedge)

헷지기간 동안 옵션 델타는 기초자산 가격 변동에 따라 변한다. 만기 이전의 옵션 가격은 2차 함수의 곡선 그래프를 보이므로, 기초자산 가격 변화에 따라 접선의 기울기가 바뀌는 것을 확인할 수 있다.



N 주가가 180,000원일 때 델타는 0.716이었다. 일주일 뒤 N 주가가 181,800원으로 상승한다고 가정하면 델타는 0.7517로 상승한다. 그 다음 일주일 후 주가가 170,000원이 된다면 델타는 0.5385가 된다.

잔존기간 동안 주가와 델타가 계속 변할 것이기 때문에, 가격 변동에 따른 위험을 제거하고자 하는 헷지 목표를 달성하기 위해선 델타에 맞춰 보유 주식 수를 조절해줄 필요가 있다. 따라서 헷지기간 동안 주식 수를 맞추는 매매가 일어나게 되는데, 이를 동적델타헷지(Dynamic Delta Hedge)라고 한다.

아래 표에 주 단위 델타 헷지 시뮬레이션을 정리하였다(델타는 소수점 셋째 자리까지 계산).

*동적델타헷지의 주 단위(Weekly) 리밸런싱은 이해를 위한 단순 참고이며, 실제로는 더 잦은 리밸런싱이 일어날 것이다.

*최초 잔존만기 2개월, 주식 10,000주에 대한 콜옵션 매도 포지션, 행사가격 170,000원
주(Week)	주가	델타	보유해야 할 주식 수	주식 거래
0	180,000	0.716	7,160	7,160
1	181,800	0.752	7,520	360
2	170,000	0.539	5,390	(2,130)
3	168,500	0.501	5,010	(380)
4	172,000	0.583	5,830	820
5	175,300	0.673	6,730	900
6	178,000	0.763	7,630	900
7	180,000	0.855	8,550	920
8	179,000	0.915	9,150	600
9	180,000	1	10,000	845

내가격(In The Money) 상태로 만기에 가까워지면 델타는 1 또는 1에 매우 근접한 수치가 될 것이다. 델타 1은 '콜옵션 매도 포지션 헷지를 위해 보유해야 할 주식 수량이, 계약 주식 수량의 100%'라는 의미이다. 위 예에서 마지막 주(계산상 옵션 만기 1일 전이다) 델타가 1이므로 '10,000주 규모의 콜옵션 매도 포지션을 보유한 증권사'는 헷지를 위해 10,000주의 주식을 보유하게 된다. 옵션 만기에 내가격으로 마감하면 증권사는 10,000주의 주식을 그대로 양도한다.

증권사의 최초 포지션 가치를 변함없이 유지하는 것이 델타헷지의 목표다. 실무적으로는 정교한 헷지를 위해 더 빈번한 거래가 일어날 것이다. 거래의 정도에 따라 상당한 거래 비용이 발생할 수 있으므로 '헷지의 정확도'와 '거래 비용' 사이에서 균형을 찾는 것이 트레이더의 고민이 될 것이다.



*\( SN^{\prime}(d_{1})\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2})\frac{\partial d_{2}}{\partial S} \) 도출

[1]
N(x)는 표준정규분포를 따르는 변수의 누적확률이므로 \( N(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^{2}}{2})dx \)이다. 따라서
\( N^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^{2}}{2}) \)가 된다.
\( d_{2} = d_{1}-\sigma \sqrt{T} \)이므로
\( N^{\prime}(d_{1}) = N^{\prime}(d_{2} + \sigma \sqrt{T}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(d_{2}+\sigma \sqrt{T})^{2}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{d_{2}^{2}+2d_{2}\sigma \sqrt{T}+\sigma^{2}T}{2}) \)
\( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{d_{2}^{2}}{2}) = N^{\prime}(d_{2}) \) 이므로 \( N^{\prime}(d_{1}) = N^{\prime}(d_{2}+\sigma \sqrt{T}) = N^{\prime}(d_{2})exp(-d_{2}\sigma \sqrt{T}-\frac{\sigma^{2}T}{2}) \)
\( d_{2} = \frac{ln(\frac{S}{K})+(r-\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)를 대입하여 정리하면,
\( N^{\prime}(d_{2})exp(-d_{2}\sigma \sqrt{T} - \frac{\sigma^{2}T}{2}) = N^{\prime}(d_{2})\frac{Ke^{-rT}}{S} \)
\( N^{\prime}(d_{1}) = N^{\prime}(d_{2})\frac{Ke^{-rT}}{S} \)이므로 \( SN^{\prime}(d_{1}) = Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2}) \)가 된다.

[2]
\( d_{1} = \frac{lnS-lnK+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)
\( \frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{1}{S\sigma \sqrt{T}} \)
\( d_{2} = \frac{lnS-lnK+(r-\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)
\( \frac{\partial d_{2}}{\partial S} = \frac{1}{S\sigma \sqrt{T}} \)
그러므로 \( \frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{\partial d_{2}}{\partial S} \)가 되고, \( SN^{\prime}(d_{1})\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = Ke^{-rT}N^{\prime}(d_{2})\frac{\partial d_{2}}{\partial S} \)가 된다.