옵션 민감도(Greeks)_2

특정 변수에 대한 옵션 가격의 민감도 표를 다시 정리한다.

Greek Letters		의미
\( \Delta \)	델타(Delta)	기초자산 가격 변화에 대한 옵션가격의 변화량. 기초자산 가격이 1만큼 증가했을 때 옵션의 가격은 얼마나 변하는가를 나타내는 정도
\( \Gamma \)	감마(Gamma)	기초자산 가격 변화에 대한 옵션 델타의 변화
\( \Theta \)	쎄타(Theta)	시간, 즉 잔존기간 변화에 따른 옵션가격의 변화량
V	베가(Vega)	기초자산 변동성 변화에 따른 옵션가격의 변화량
Rho	로(Rho)	금리(무위험) 변화에 따른 옵션가격의 변화 정도

옵션의 기초자산은 주식이라고 가정한다.

감마(Gamma)

감마(Gamma)는 기초자산 가격 변화에 대한 델타의 변화를 의미한다. 옵션의 감마는 기초자산의 가격으로 2차 편미분한 값이다.
$$ \Gamma = \frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}} = \frac{N^{\prime}(d_{1})}{S\sigma \sqrt{T}} $$

위 식은 콜옵션과 풋옵션 모두 동일하다.

Ex)
  - N주식 현재가(S) : 180,000원
  - N주식 콜옵션 행사가(K) : 170,000원
  - 옵션 만기까지의 잔존기간: 2개월(T=0.170)
  - 무위험 금리(r) : 연 3.5%
  - 변동성(\( \sigma \)) : 30% (연)

일 경우, 델타는 0.716이고 감마는 0.0000152가 된다.
$$ gamma = \frac{N^{\prime}(d_{1})}{S\sigma \sqrt{T}} = 0.0000152 $$

만약 주가가 180,000원에서 178,000원으로 변한다면 감마를 통해 추정한 델타의 변화분은
$$ (180,000-178,000)*0.0000152=0.030 $$

감마를 통해 추정한 178,000원일 때의 델타는
$$ Delta \, at \, 178,000 = 0.716 - 0.030 = 0.686 $$
*주가가 178,000원일 때 BSM모델로 계산한 실제 델타는 0.685로, 위 추정치에 근접한다. 주가 변화폭이 클수록 추정치와 실제값 간 괴리가 커진다.

단일 옵션 포지션이 아닌 옵션 포트폴리오(f)라고 한다면 아래와 같이 표시할 수 있다.
$$ delta=\frac{\partial f}{\partial S} \,\,\,\,\,\, \Gamma=\frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} $$

델타는 기초자산 가격이 변할 때 옵션 가격이 델타만큼 선형적으로 변한다는 것을 의미한다. 그러나 만기 이전 옵션 가격의 그래프는 비선형이기 때문에 델타만큼 변하지 않으며 그 차이만큼 헷징 오차(hedging error)가 발생한다. 감마가 클수록 오차는 커진다.

감마는 델타의 변화를 의미하기 때문에 감마가 작으면 델타의 변화분도 작고, 따라서 델타중립(delta-neutral) 포지션을 위한 주식 매매 규모 또한 작을 것이다. 반면 감마가 크다면 델타 변화가 상대적으로 크기 때문에 델타중립을 유지하기 위한 주식 매매 규모가 크고, 더 잦은 매매가 필요하게 될 것이다. 이러한 점 때문에 감마의 절대값이 큰 옵션 포지션이라면 델타중립 포지션 유지가 까다로울 수 있다.

기초자산의 가격과 감마의 관계를 나타내는 그래프는 아래와 같다.


행사가격 K에서 감마가 최고치를 나타내는 것을 볼 수 있다. 이는 옵션이 등가격(ATM; At The Money) 상태일 때 델타가 가장 민감하다는 것을 의미한다.

감마중립(Gamma Neutral)

기초자산의 델타는 1이고 감마는 0이다. 감마가 0이므로 델타중립과는 달리 기초자산의 포지션으로는 감마 중립(Gamma Neutral)을 만들 수 없다. 감마중립을 만들기 위해서는 동일 기초자산을 가지는 다른 옵션의 포지션을 합성하여 기 포지션의 감마를 상쇄해야 한다. 이전의 델타헷지 포스팅에서 살펴본 증권사의 N 주식 콜옵션 매도 포지션(장외)를 다시 생각해보자. 감마중립을 달성하기 위해 증권사는 거래소에서 거래되는 N 주식옵션을 합성할 수 있다.

현재 포지션의 감마를 \( \Gamma \)라고 하고, 거래소에서 거래되는 N주식옵션의 감마를 \( \Gamma_{T} \)라고 하자. n 계약수만큼 옵션을 새로 편입한다면 전체 포트폴리오의 감마는 다음과 같다.
$$ n \Gamma_{T} + \Gamma $$

포트폴리오 감마를 0으로 만들기 위해서 필요한 옵션계약의 수 n은
$$ n=- \frac{\Gamma}{\Gamma_{T}} $$

한국거래소에서 거래되는 주식옵션의 승수는 10이므로 옵션 1계약당 주식 10주를 계약하게 된다. 이를 반영하여 옵션 계약 수를 산출하면 된다.

세타(Theta)

다른 변수들이 모두 일정할 때(all others constant), 시간의 변화에 대한 옵션 가치의 변화를 나타낸다. 여기에서 '시간'이란 '잔존만기'와 연관되어, 시간이 경과하면 옵션의 잔존만기는 감소한다. 한편 '옵션기초2' 포스팅에서 옵션은 내재가치와 시간가치를 지닌다고 하였다(링크). 잔존만기가 줄어든다는 것은 주가 움직임에 따른 옵션의 '행사기회'가 줄어든다는 것을 의미하며, 시간이 경과할수록 옵션의 시간가치는 감소한다. 따라서 세타는 음의 값을 가지며, 'Time decay'라고 표현되기도 한다.

블랙숄즈머튼(BSM) 모델로부터 산출된 콜옵션의 세타 공식은 아래와 같다.
$$ \Theta = - \frac{SN^{\prime}(d_{1})\sigma}{2 \sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_{2}) $$

풋옵션의 세타는
$$ \Theta = - \frac{SN^{\prime}(d_{1})\sigma}{2 \sqrt{T}} + rKe^{-rT}N(-d_{2}) $$

베가(Vega)

이항트리 모형이나 블랙숄즈머튼(BSM) 옵션가격 결정식은 기초자산의 변동성이 잔존기간 동안 일정하다고 가정한다 (Implicitly assumed that the volatility of the asset underlying a derivative is constant). 실제 변동성은 변하기 때문에, 변동성 변화에 대한 옵션 가격의 변화율을 아래와 같이 측정할 수 있다.
$$ v = \frac{\partial c}{\partial \sigma} = \frac{\partial p}{\partial \sigma} = S\sqrt{T}N^{\prime}(d_{1}) $$
*\( N^{\prime}(d_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(- \frac{d^{2}_{1}}{2}) \)

Ex)
N사 주식을 기초자산으로 하는 콜옵션을 다시 보자.

  - N주식 현재가(S) : 180,000원
  - N주식 콜옵션 행사가(K) : 170,000원
  - 옵션 만기까지의 잔존기간: 2개월(T=0.170)
  - 무위험 금리(r) : 연 3.5%
  - 변동성(\( \sigma \)) : 30% (연)

조건이 위와 같을 때
$$ S\sqrt{T}N^{\prime}(d_{1}) = 25,126 $$

이 되고 콜옵션의 가격은 15,200원으로 계산된다. 변동성이 30%에서 29%로 1%pt 감소한다면, 베가(vega)를 통해 계산된 콜옵션 가치의 하락분은
$$ 1\%*25,126=251.26원 $$

민감도를 통해 측정한 콜옵션의 가치는 251원 하락한 14,949원이다. 변동성을 29%로 하여 BSM 콜옵션의 가치는 14,950원으로, 추정치와 실제치가 매우 근접한 것을 알 수 있다.

옵션 잔존기간 동안 기초자산의 변동성이 일정하다고 가정하는 BSM 모델에서 베가를 계산하는 것보다, 변동성을 Stochastic(시간의 진행에 대해 확률적 변화 구조를 가지는) 변수로 하는 모델에서 베가를 계산하는 것이 이론적으로 더 적합할 것이다. 다만 양쪽 모델에서 계산한 베가의 수치가 유의미한 차이가 없는 것으로 알려져 있어 BSM 모델에서 계산한 베가를 실무에서 적용해도 무리가 없을 것 같다.

로(Rho)

로(rho)는 무위험 이자율 변화에 대한 옵션 가격의 민감도를 계산하는 지표이다.
$$ rho(call) = \frac{\delta c}{\delta r} = KTe^{-rT}N(d_{2}) $$ $$ rho(put) = \frac{\delta p}{\delta r} = -KTe^{-rT}N(-d_{2}) $$