채권 가격결정(Pricing of Bonds)
어떤 금융상품(financial instrument)의 가치(value)는 미래 예상되는 현금흐름을 현재가치로 할인한 값이 된다. 그러므로 채권 가치(value, 또는 가격 price)를 구하기 위해선 아래 두 항목의 추정치가 필요하다.
1) 미래 예상되는 현금흐름(an estimate of expected cash flows)
2) 적정 요구수익률(an estimate of required return, 또는 할인율 discount rate)
옵션이 붙어있지 않은 채권(Option-free Bonds)은 사전에 정해진 기일에, 정해진 이자와 원금을 지급하는 금융상품이므로 미래 발생할 현금흐름을 미리 알 수 있다. 그러므로 채권 가치를 결정할 때 고민해야 할 건 할인율이다. 할인율은 금융상품의 기간, 위험 수준에 따라 무위험 수익률(risk-free rate, 예를 들면 국채수익률)과 신용 스프레드(credit spread), 기타 요소를 종합적으로 반영한다.
채권의 가격결정식은 다음과 같다. (이표를 지급하는 채권)
$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C_{t}}{(1+r)^{t}}+\frac{M_{n}}{(1+r)^{n}}$$
P = 가격(price)
n = 만기까지의 현금흐름(이자지급) 횟수(number of periods)
t = t 시점( x 연 이자지급횟수) (time period when the payment is to be received)
C= 현금흐름(이자) (coupon payment)
r = 할인률, 또는 요구수익률(연 이자지급 횟수로 나눔) (required annual yield divided by n)
M = 만기 현금흐름(Maturity Value)
위 표기는 상황에 따라 다르게 써도 무방하다(ex. 만기 현금흐름 M을 액면의 의미인 F, Face Value로 표기)
위 식에서 채권의 시장가격과 미래현금흐름을 할인한 값들의 합을 일치시켜주는 할인율을 만기수익률(YTM; Yield To Maturity)라고 하며, 채권에서 수익률이라 함은 보통 YTM을 의미한다.
Ex)
국고02250-2106(18-3) 발행정보
발행일 : 2018-06-10
만기일 : 2021-06-10
표면금리 : 2.250%
이자지급횟수 : 연 2회
만기상환율 : 100.00%
YTM : 2.00%
액면 10,000원 기준으로, 18년 6월 10일 채권 가격은 다음과 같이 계산된다.
$$10,072.443원=\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{0.5*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{1*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{1.5*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{2*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{2.5*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{3*2}}+\frac{10,000}{(1+\frac{0.02}{2})^{3*2}}$$
한편 위 수식은 채권 매수(결제)가 채권의 발행 당일 또는 이자지급일에 이루어진 경우를 가정한 것이다. 그러나 채권시장에서는 이자지급일 사이 어느 날에도 매매가 일어날 수 있으므로 두 이자지급일 간, 이자지급일과 매매일 간 일수(day count)를 셈한 후 할인하는 과정이 추가된다.
(그림)
두 이자지급일 사이에 위치한 특정일에 채권을 매수할 경우, 채권 가격 결정식은 다음과 같다.
$$P=\frac{1}{(1+r)^{v}}\times\sum_{t=1}^{n}\frac{C_{t}}{(1+r)^{t}}+\frac{M_{n}}{(1+r)^{n}}$$
v =(매수결제일로부터 다음 이자지급일까지의 일수)/(이자지급일 간 일수)
Ex)
이전 예시와 동일한 채권(18-3)을 YTM 2.00%로 2019년 10월 26일에 매수(결제)할 경우
(차기이자지급일 : 2019-12-10, 직전이자지급일 : 2019-06-10)
v = 0.2459 (45일/183일)
$$10,124.459원=\frac{1}{(1+\frac{0.02}{2})^{0.2459}}\times\{\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{0*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{0.5*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{1*2}}+\frac{112.50}{(1+\frac{0.02}{2})^{1.5*2}}+\frac{10,000}{(1+\frac{0.02}{2})^{1.5*2}}\}$$
$$P=[{I}_{1}+\frac{I_{2}}{(1+\frac{r}{K})^{1}}+\cdots+\frac{I_{n}}{(1+\frac{r}{K})^{n-1}}+\frac{F}{(1+\frac{r}{K})^{n-1}}]\div(1+\frac{r}{K}\times\frac{D}{B})$$
여기서, D/B=v 이므로 단리 적용임을 알 수 있다.
변동금리채권(FRN)
변동금리채권(FRN)이나 옵션부 채권(Bond with any options, Callable 또는 Puttable)의 경우 미래 현금흐름이 확정적이지 않기 때문에, 현금흐름을 미리 알 수 있는 이표채, 할인채와는 다른 방법이 적용된다. 여기서는 변동금리채권에 대해서만 논의한다.
변동금리채권은 발행 시 이표가 고정되지 않고 (기준금리 + 스프레드)의 형태로 발행되는 채권이다. 예를 들어 어떤 기업에서 3년 만기, 3개월 단위 이자지급 및 이표 재설정, 91일 물 CD금리 + 120bp 조건의 형태로 채권을 발행할 수 있다. 이 때 CD금리가 기준금리(Reference rate)이고 120bp는 스프레드(spread)로써 시장이 이 기업에 요구하는 초과수익률이다. 시장금리가 오르면 자연스럽게 채권의 표면금리도 상승하고 시장금리가 떨어지면 표면금리도 하락하기 때문에, 금리 변동을 상대적으로 잘 반영한다는 장점이 있다. 금리 변화에 따라 가격이 변동하는 고정금리 채권 대비 가격 변동성이 작다는 것도 특징이다.
변동금리채권의 가겨산정 방식에 대해 시장이 동의한 방식은 없으나, 채권평가사에서는 내재선도금리(Implied forward rate)를 이용하여 미래 현금흐름을 추정, 이를 적절한 할인율로 할인하는 밸류에이션 방식을 적용하고 있다.
1) 채권의 이자지급 주기 확인(6개월 단위, 3개월 단위)
2) 채권의 이자지급 주기에 맞는 Spot rate에서 선도금리(Forward rate) 도출
3) 선도금리에 스프레드를 더하여 미래 현금흐름을 산출
4) 현금흐름을 (Spot rate + 스프레드)로 할인. 이 때 스프레드는 현재 시점의 시장 스프레드
Spot rate은 스왑금리(Swap rate)를 쓰는 것이 보통이다.
이 방식은 내재선도금리가 미래 이자율의 불편추정량(unbiased estimator)이라는 순수기대가설(Pure Expectation Hypothesis)을 전제한다. 선도금리가 미래 금리를 얼마나 정확히 예측하는지에 대해선 많은 논란이 있어왔고 선도금리가 미래금리를 예측하지 못한다는 많은 리서치 결과가 있다. 상반된 결과를 설명하는 이론으로는 시장분할가설(Market Segmentation Hypothesis), 유동성선호가설(Liquidity preference hypothesis) 등이 있다.