풋-콜 패리티(Put-call parity)

풋-콜 패리티는 동일 기초자산, 동일 행사가격, 동일 만기를 가지는 콜옵션 가격과 풋옵션 가격의 관계로 정의된다. 결론부터 먼저 보면 다음과 같다.
$$c+Ke^{-rT}=p+S_{0}$$

콜옵션 가격과 풋옵션 가격의 관계는 유럽형(European) 옵션과 미국형(American) 옵션이 다르고, 옵션 만기 이전 현금흐름이 발생하는지 여부에 따라 달라진다. 여기에서는 '배당을 지급하지 않는 유럽형 주식옵션 (European options on Non-dividend paying stock)'을 중심으로 풋-콜 패리티를 알아보되 미국형 옵션 가격 관계에 대해서도 같이 알아본다.

상기 페이지는 'Options, Futures, And Other Derivatives(John C.Hull)'을 많은 부분 참조하였음을 밝힌다.

  가정(Assumption)

  1) 거래비용은 없고, 모든 시장참여자에게 부과되는 세금은 동일하다.
  2) 시장참여자는 무위험이자율(무위험수익률; risk-free rate)에 언제든 차입하거나 투자할 수 있다.
  3) 시장참여자는 차익거래 기회 발생 시 적극적으로 참여하여 수익을 추구한다.

  표기(Notation)

  1) \( S_{0} \): 현재 주가
  2) \( K \): 행사가격
  3) \( T \): 잔존만기
  4) \( S_{T} \): 옵션만기일의 주가
  5) \( r \): 무위험수익률(연속복리)
  6) \( c \): 유럽형 콜옵션 프리미엄
  7) \( C \): 미국형 콜옵션 프리미엄
  8) \( p \): 유럽형 풋옵션 프리미엄
  9) \( P \): 미국형 풋옵션 프리미엄

콜옵션(Call Option) 가격의 범위

콜옵션(call option)은 주식을 매수할 수 있는 '권리(right)'이다. 콜옵션의 가격은 기초자산인 주식의 가격 이상으로 올라갈 수 없다. 만약 '살 권리'가 주가보다 높다면 투자자는 이 권리(콜옵션)를 살 필요 없이 시장에서 주식을 바로 매수할 수 있다. 또한 콜 가격이 주식 가격보다 높다면 '콜 매도-주식 매수'의 무위험 차익거래가 일어날 것이다. 따라서 콜옵션의 가격 상단은 현재 주가이며 항상 이보다 낮거나 같다. 이는 유럽형과 미국형에 관계없이 적용된다.
$$c, C\leq S_{0}$$

유럽형 콜옵션 가격 하단은 주가와 행사가, 무위험수익률과 콜옵션 가격 간 차익거래(arbitrage)로 이해할 수 있다. 시장 상황이 아래와 같다고 하자.

  1) \( S_{0} \): 66,700원
  2) \( K \): 64,000원
  3) \( T \): 3개월(=0.25)
  4) \( r \): 3.50%
  5) \( c \): 3,000원

투자자는 다음과 같이 무위험수익을 추구할 수 있다.

1) 주식을 빌려 66,700원에 공매도함과 동시에 콜옵션을 3,000원에 매수. 투자자에게 현금 63,700원이 유입된다.
2) 1번에서 발생한 현금을 옵션 만기까지 3개월 간 무위험수익률에 투자. 3개월 뒤 현금은 64,260원(\( 63,700원*e^{3.50\%*0.25} \)) 이 된다.
3) 만약 옵션 만기 시점의 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 크다면, 투자자는 콜옵션 행사를 통해 주식을 64,000원에 매수하고 이를 상환한다. 투자자는 260원(64,260원 - 64,000원)의 수익을 얻는다.
4) 옵션 만기 시점 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 작다면 투자자는 시장에서 주식을 직접 매수하여 주식을 상환한다. 예를 들어 (\( S_{T} \))가 63,000원이라면, 투자자는 1,260원(64,260원 - 63,000원)의 수익을 얻는다. 콜옵션은 소멸된다.

차익거래는 콜옵션 가격이 일정 수준 이상이 될 때까지 지속될 것이다. 위 거래를 두 개의 포트폴리오로 나누어 살펴볼 수 있다.

  - 포트폴리오 1 = \( c+Ke^{-rT} \) (유럽형 콜옵션과, T시점에 K를 상환하는 무위험 할인채)
  - 포트폴리오 2 = \( S_{0} \) (주식)

옵션 만기 시점(T) 2번 포트폴리오의 가치는(\( S_{T} \))가 된다. 한편 1번 포트폴리오의 채권은 옵션 만기(T)에 행사가격 K금액으로 상환될 것이다. 1번 포트폴리오에 대해 우리는 두 가지 시나리오를 생각할 수 있는데,

1) 옵션 만기 시점 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 높을 경우: 투자자는 콜옵션을 행사, K를 지불하고 주식을 매수한다. T 시점 포트폴리오 1의 가치는 \( S_{T} \)가 된다.
2) 옵션 만기 시점 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 낮을 경우: 콜옵션은 행사되지 않고 소멸된다. T 시점 포트폴리오 1의 가치는 K가 된다.

따라서 T 시점 포트폴리오 1의 가치는 포트폴리오 2의 가치보다 항상 높거나 같다. 현재 시점에서도 마찬가지로 1번 포트폴리오는 2번 포트폴리오보다 가치가 항상 높거나 같아야 하며 그렇지 않으면 균형을 찾을 때까지 차익거래가 발생한다.
$$c+Ke^{-rT}\geq S_{0}$$ $$c\geq S_{0}-Ke^{-rT}$$

\( c\geq 0 \)이므로,
$$c\geq max(S_{0}-Ke^{-rT}, 0)$$

이제 미국형 콜옵션(American call option)을 알아보자. 아래와 같은 이유로 투자자는 미국형 콜옵션을 만기 이전 행사할 유인이 없다.

1) \( S_{0}>K \)이고 투자자가 주식을 매수하여 보유할 계획이라면, 투자자는 미국형 콜옵션을 즉시 행사하는 것보다 만기 시점에 행사하는 것이 유리하다. 현재 행사하면 주식 매수 대금에 해당하는 현금이 즉시 유출되지만, 만기에 행사한다면 이 현금을 옵션 만기까지 무위험으로 운용하여 수익을 얻을 수 있다. 주식은 배당을 지급하지 않기 때문에, 주식을 보유함에 따라 얻는 중간 수익(배당)은 없다. 오늘 행사하나 만기에 행사하나 주식을 소유하게 되는 것은 같다. 또한 옵션 만기 이전 주가가 행사가 밑으로 하락할 가능성도 여전히 있기 때문에 미국형 옵션을 일찍 행사하는 것보다 만기에 행사하는 것이 투자자에게 매력적인 선택이 된다.
2) \( S_{0}>K \)이고 투자자의 목적이 주식 보유가 아닌 단기 매매 목적이라면, 투자자는 미국형 콜옵션을 행사하는 것보다 옵션을 매도하여 포지션을 청사하는 것이 더 유리하다. 콜옵션을 행사하게 되면 투자자는 K에 주식을 매수하여 \( S_{0} \)에 주식을 매도하는 반면, 콜옵션을 매도하면 콜옵션 가격 C는 \( S_{0}-K \)보다 클 것이기 때문이다. 따라서 포지션 청산이 옵션 행사보다 더 큰 수익이 된다.

위로 인하여 '배당을 지급하지 않는 주식의 미국형 콜옵션'은 유럽형 콜옵션과 같다. 즉, \( c=C \)이므로,
$$c, C\geq max(S_{0}-Ke^{-rT}, 0)$$

콜옵션 가격의 상단과 조합하면, $$max(S_{0}-Ke^{-rT}, 0)\leq c,C\leq S_{0}$$

풋옵션(Put Option) 가격의 범위

미국형 풋옵션(American put option)은 행사가격 K에 주식을 매도할 수 있는 권리를 부여한다. 풋옵션 보유로 인한 최대 수익은 K이기 때문에(주가가 0일 경우), 미국형 풋옵션의 가격은 행사가격 K를 상회할 수 없다.
$$P\leq K$$

미국형 풋옵션은 '만기 이전 언제든' 행사 가능한 반면, 유럽형 풋옵션(European put option)은 만기 시점에만 행사가 가능하다. 따라서 유럽형 풋옵션의 가격은 '만기' 시점에 K를 상회할 수 없다(만기 시점 주가가 0일 경우 풋옵션 보유자의 최대 수익이 K이기 때문에). 유럽형 옵션의 오늘 가격은 K의 현재가치 이하가 된다.
$$p\leq Ke^{-rT}$$

만약 풋옵션 가격이 위와 같지 않다면 시장참여자는 풋매도-무위험이자율 투자로 위험없는(riskless) 수익을 얻을 수 있다.

배당을 지급하지 않는 유럽형 주식 풋옵션(European put option on a non-dividend-paying stock)의 가격 하단은 콜옵션과 같은 방식으로 알아볼 수 있다. 시장 상황이 다음과 같다고 하자.

  1) \( S_{0} \): 66,700원
  2) \( K \): 70,000원
  3) \( T \): 3개월(=0.25)
  4) \( r \): 3.50%
  5) \( p \): 2,000원

투자자는 다음과 같이 무위험수익을 추구할 수 있다.

1) 시장에서 무위험이자율로 68,700원(주가 66,700원 + 풋가격 2,000원)을 차입, 주식과 풋옵션을 매수한다. 3개월 뒤 상환해야 할 자금은 69,304원(\( 68,700원*e^{3.50\%*0.25} \))이 된다.
2) 만약 옵션 만기 시점의 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 작다면, 투자자는 풋옵션을 행사하여 주식을 70,000원에 매도하고 매도 자금으로 차입금을 상환한다. 투자자는 696원(70,000원 - 69,304원)의 수익을 얻는다.
3) 만약 옵션 만기 시점의 주가(\( S_{T} \))가 행사가격(K)보다 크다면 투자자는 풋옵션을 행사하지 않고 시장에서 주식을 매도한다. 주가가 71,000원이라면 수익금은 '71,000원 - 69,304원 = 1,696원'이 된다.

이를 두 개의 포트폴리오로 각각 구성해보자.

  - 포트폴리오 3 = \( p+S_{0} \) (유럽형 풋옵션과 주식)
  - 포트폴리오 4 = \( Ke^{-rT} \) (T 시점에 K를 상환하는 무위험 할인채)

옵션 만기일(T) 가격이 \( S_{T}<K \)라면 풋옵션이 행사될 것이고, T 시점 포트폴리오 3의 가치는 K가 된다. 반대로 \( S_{T}>K \)라면 풋옵션은 소멸되고 포트폴리오 3의 가치는 \( S_{0} \)이 된다. 따라서 옵션만기(T) 포트폴리오 3의 가치는
$$max(S_{T}, K)$$

4번 포트폴리오는 만기 시 K가 된다. 따라서 포트폴리오 3의 가치는 항상 포트폴리오 4보다 크거나 같다.
$$p+S_{0}\geq Ke^{-rT}$$ $$p\geq Ke^{-rT}-S_{0}$$

콜옵션과 마찬가지로 풋옵션 보유 포지션은 최악의 시나리오가 '옵션 소멸'이기 때문에, 옵션은 항상 0보다 큰 가치를 지닌다. \( p\geq 0 \)이므로
$$p\geq max(Ke^{-rT}-S_{0}, 0)$$

위에서 구한 유럽형 풋옵션 가격 상단과 함께 정리하면,
$$max(Ke^{-rT}-S_{0}, 0)\leq p \leq Ke^{-rT}$$

콜옵션과 달리 '배당을 지급하지 않는 주식 풋옵션'은 미국형 옵션과 유럽형 옵션이 같지 않다. 충분한 내가격 상태라면(if it is sufficiently deep in the money), 미국형 풋옵션은 옵션 만기 이전 행사하는 것이 유리하다. 주가가 부진하여 0에 가까이 가는 극단적인 예를 생각해볼 수 있는데, 풋옵션의 최대 수익은 K로 한정되어 있으므로 주가가 0일 경우 즉시 풋옵션을 행사하여 수익을 실현하는 것이 옳다. 최대 수익이 한정되어 있기 때문에 풋옵션을 더 보유함으로써 얻을 수 있는 추가 수익의 기회는 없다. 게다가 주가가 다시 상승하여 투자자 수익이 줄어들 가능성도 있기 때문에 '충분한 수익 구간'이라면 미국형 풋옵션은 오늘(today) 행사될 것이다.

유럽형 풋옵션 가격 하단이 \( p\geq Ke^{-rT}-S_{0} \)임을 밝힌 바 있다. 미국형 풋옵션은 만기 이전 언제든(at any time) 행사 가능하기 때문에 \( P\geq K-S_{0} \)가 된다. 정리하면,
$$max(K-S_{0}, 0)\leq P\leq K$$

만기 전 언제든 행사 가능하기 때문에 유럽형 옵션보다 더 좋은 가격 조건을 가진다.

유럽형 옵션의 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)

풋-콜 패리티는 '동일 만기', '동일 행사가격'을 갖는 유럽형 콜옵션 가격과 풋옵션 가격 간 관계를 정의한다. 옵션의 기초자산은 '배당 미지급 주식'이다. 위 언급한 포트폴리오 1과 포트폴리오 3을 다시 쓰면

  - 포트폴리오 1 = \( c+Ke^{-rT} \) (유럽형 콜옵션과, T시점에 K를 상환하는 무위험 할인채)
  - 포트폴리오 3 = \( p+S_{0} \) (유럽형 풋옵션과 주식)

주식은 배당을 지급하지 않기 때문에 옵션 기간 내 중간 현금흐름은 없다. 옵션 만기 시점(T) 주가에 따른 포트폴리오 가치는 아래 표와 같다.

		\( S_{T}<K \)	\( S_{T}>K \)
포트폴리오 1	콜옵션(Call Option)	(소멸)	\( S_{T}-K \)
	무위험 할인채	K	K
	합계	K	\( S_{T} \)
포트폴리오 3	풋옵션(Put Option)	\( K-S_{T} \)	(소멸)
	주식	\( S_{T} \)	\( S_{T} \)
	합계	K	\( S_{T} \)

T 시점 두 포트폴리오의 가치는 같다. 그러므로 오늘의 가치도 동일해야 한다. 따라서,
$$c+Ke^{-rT}=p+S_{0}$$

풋-콜 패리티는 풋 가격이나 콜 가격 중 어느 하나를 알고 있으면 다른 변수를 알아낼 수 있다는 것을 의미한다. 위 등가관계가 성립하지 않으면 차익거래(arbitrage)가 일어나고, 이는 자산가격이 균형상태에 이를 때까지 지속될 것이다.

미국형 옵션의 풋-콜 패리티?

풋-콜 등가이론은 유럽형 옵션에만 적용되며 미국형 옵션은 패리티가 성립하지 않는다. 다만, 미국형 풋-콜 가격 간 관계를 아래와 같이 도출할 수 있다. 기초자산은 마찬가지로 '배당을 지급하지 않는 주식'이며 풋옵션과 콜옵션은 같은 잔존만기(same time to maturity)와 같은 행사가격(same strike price)를 가진다.

먼저 유럽형 옵션의 풋-콜 패리티를 다시 쓰면 아래와 같다.
$$c+Ke^{-rT}=p+S_{0}$$ $$p=c+Ke^{-rT}-S_{0}$$

미국형 풋옵션의 가치 P는 항상 p보다 크다. \( P\geq p \)이므로 $$P\geq c+Ke^{-rT}-S_{0}$$

C=c이므로
$$P\geq C+Ke^{-rT}-S_{0}$$ $$C-P\leq S_{0}-Ke^{-rT}$$

다음으로 두 개 포트폴리오를 구성해 살펴보자.

  - 포트폴리오 5 = \( c+K \)
  - 포트폴리오 6 = \( P+S_{0} \)

T시점 두 개 포트폴리오의 가치는 아래와 같다.

  - 포트폴리오 5 = \( max(S_{T}-K, 0)+Ke^{rT}=max(S_{T}, K)-K+Ke^{rT} \)
  - 포트폴리오 6 = \( max(S_{T}, K) \)

만약 미국형 풋옵션 P가 T 이전 행사된다면(시점 \( \tau \)), \( \tau \)시점 포트폴리오 가치는,

  - 포트폴리오 5 = \( c+Ke^{r\tau} \)
  - 포트폴리오 6 = \( K \)

따라서 포트폴리오 5의 가치는 포트폴리오 6보다 항상 크거나 같다.
$$c+K\geq P+S_{0}$$

\( c=C \) 이므로
$$C+K\geq P+S_{0}$$ $$C-P\geq S_{0}-K$$

정리하면,
$$S_{0}-K\leq C-P\leq S_{0}-Ke^{-rT}$$

합성선물(Synthetic futures) 포지션

같은 행사가격과 만기를 가진 콜옵션과 풋옵션을 결합하면, 그 행사가격의 선물포지션을 만들 수 있다. 그림으로 보면 아래와 같다.




합성선물 포지션을 만드는 방법은 다음과 같다. 시장이 아래와 같다고 하자.

  1) \( K \): 70,000원
  2) \( T \): 3개월(=0.25)
  3) \( r \): 3.50%
  4) \( c \): 3,800원
  4) \( p \): 2,600원

투자자가 콜옵션을 매수함과 동시에 풋옵션을 매도한다면 만기 시 손익은 아래와 같다.

	\( S_{T}<K \)	\( S_{T}>K \)
콜 매수 포지션	(소멸)	\( S_{T}-K \)
풋 매도 포지션	\( -(K-S_{T}) \)	(소멸)
전체 손익	\( S_{T}-K \)	\( S_{T}-K \)

콜매수, 풋매도 포지션은 만기 시 주가에 관계없이 \( S_{T}-K \)의 고정된 손익을 제공한다. 이는 마치 3개월 주식선물을 K에 매수한 것과 동일하다. 한편 합성선물 포지션을 보유하기 위해 투자자는 풋옵션을 매도하여 2,600원을 수취하였고, 무위험이자율로 1,200원을 차입하여 3,800원의 콜옵션을 매수하였다. 콜옵션과 풋옵션 가격 차이로 차입한 1,200원은 선물 만기 시 1,211원(\( 1,200원*e^{3.50\%*0.25} \))이 될 것이다. 따라서 투자자가 매수한 실질적인 선물 가격은 행사가격 70,000원이 아닌 71,211원이 된다.
$$합성선물\,매수가격=K+(c-p)e^{rT}=70,000+(3,800-2,600)*e^{3.5\%*0.25}$$

반대로 풋매수, 콜매도의 합성포지션은 선물 매도포지션과 동일하다.

	\( S_{T}<K \)	\( S_{T}>K \)
콜 매도 포지션	(소멸)	\( -(S_{T}-K) \)
풋 매수 포지션	\( K-S_{T} \)	(소멸)
전체 손익	\( K-S_{T} \)	\( K-S_{T} \)

이는 3개월 선물을 K에 매도한 것과 동일한 손익 구조를 갖는다. 투자자는 콜옵션을 3,800원에 매도하여 현금을 수취하고 풋옵션을 매수하여 2,600원을 지불하였으므로, 합성선물 매수포지션과 달리 현금의 유입이 발생하였다. 차액 1,200원은 무위험이자율로 증가하여 만기 시 1,211원이 될 것이다. 따라서 이를 반영한 실질 합성선물 매도가격은 71,211원이다.
$$합성선물\,매도가격=K-(p-c)e^{rT}=70,000-(2,600-3,800)*e^{3.5\%*0.25}$$