시간가치(Time value of money)
무위험 수익률(risk free rate), 물가상승(inflation) 등이 존재하기 때문에,
동일한 크기의 금액이더라도 시점이 다르면 그 가치는 서로 다르다.
예를 들어 작년의 1,000원과 현재의 1,000원은 같은 금액이지만 가치는 서로 다르다.
현재 시점에서 1,000원을 무위험 수익률을 제공하는 금융상품에 1년 간 투자한다면 1년 뒤 이자와 함께 원금을 되돌려 받을 것인 바, 이 원리금을 현재 시점 1,000원의 미래가치(future value)라고 한다.
$${P}_{n} = {P}_{0}\times{(1+r)}^{n}$$
n = 기간 수 (number of periods)
P0 = 투자원금
Pn = n 기간 후의 미래 가치
r = 수익률(또는 이자율)
여기에서 (1+r)^n 부분은 1원을 r의 수익률로 n 기간 동안 복리(compounding)로 투자했을 때의 미래가치를 나타낸다. 만약 복리가 아닌 단리(simple) 계산을 적용한다면 다음과 같이 수식이 바뀐다.
$${P}_{n} = {P}_{0}+({P}_{0}\times r\times n)$$
만약 연 단위로 이자를 지급하는 채권(또는 예금)에 1,000을 10년 간 10%의 수익률로 투자했을 경우,
$$(복리) 1,000\times {(1+0.1)}^{10}=2,593.742원$$
$$(단리) 1,000 + (1,000\times 0.1\times 10) = 2,000원$$
금융시장에서는 모두 복리 계산식을 적용하므로 앞으로 여기에서도 모두 복리(compounding) 계산을 따른다.
위 채권이 1년에 1회 이상 이자를 지급하는 상품이라면, 미래가치 계산에 적용되는 수익률(r)과 기간(n)은 이자지급횟수에 맞춰 조정하여야 한다. 예를 들어 연 2회 이자를 지급하는 연 10%짜리 채권에 1,000을 투자한다면,
$$1,000\times{(1+\frac{0.1}{2})}^{10\times 2} = 2,653.298원$$
연 4회 이자를 지급한다면,
$$1,000\times{(1+\frac{0.1}{4})}^{10\times 4} = 2,685.064원$$
이를 일반화시키면,
$${P}_{n} = {P}_{0}\times{(1+\frac{r}{m})}^{n\times m}$$
m = 연 이자지급횟수
이 때 이자지급횟수를 무한으로 쪼개면(n→∞),
$$\lim_{m \rightarrow \infty}{(1+\frac{r}{m})}^{n\times m}={e}^{r\times n}$$
e는 수학에서 말하는 자연상수 또는 오일러 상수이다. 금융에서는 ${e}^{rn}을 연속복리(continuous compounding)라고 하며, 각종 금융모델 및 파생상품 가치평가 등에 많이 적용되고 있다.
이자를 동일한 수익률에 재투자하는 복리 효과는 투자 기간이 길어질수록, 이자지급횟수가 많아질수록 커진다.
현재가치(Present Value)
현재가치(present value)는 미래가치(future value)와 반대되는 개념이다.
$${P}_{0} = \frac{P_{n}}{(1+r)^{n}}$$
1,000원을 10년 간 10%의 수익률로 투자한 경우를 다시 짚어보면,
$$1,000\times {(1+0.1)}^{10}=2,593.742원$$
$$1,000 = \frac{2,593.742}{(1+0.1)^{10}}$$
10년 후 2,593.742원의 현재 가치는 1,000원과 같다(수익률 10% 복리). 만약 같은 조건 하에서 10년 뒤 1,000원을 받고자 한다면,
$$\frac{1,000}{(1+0.1)^{10}}=385.54원$$
현재 385.54원을 투자하면 10년 뒤 1,000원의 원리금을 돌려받을 수 있다.
현재가치의 개념은 금융상품의 가치평가에 상당히 유용하다. 금융상품의 가격이라는 것은 결국 미래 발생한 현금흐름을 현재가치로 할인한 값이기 때문이다. 일반적인 채권의 경우 정해진 날짜에 이자와 원금을 지급하기 때문에 미래 현금흐름을 현재 시점에 미리 알 수 있으며, 이 현금흐름을 적정 할인율(=수익률, 현재가치를 구하기 위해 할인에 이용될 땐 할인율)로 할인하여 가격을 계산한다. 2020년 현재 한국의 주요 채권을 보면, 기획재정부에서 발행하는 국고채는 6개월 단위로 이자를 지급하고 있으며 국민주택채권은 중간 이자지급 없이 연 단위 복리 계산을 하여 만기에 일시지급을 하고 있다. 특별법에 의해 설립된 특수법인인 예금보험공사, 한국전력 등이 발행하는 특수채 및 지방채 또한 국고채와 마찬가지로 반기 단위 이자지급을 하고 있으며, 금융채(은행채, 카드채, 여전채)와 회사채는 3개월 단위의 이자지급주기를 가지는 것이 보통이다.
금융시장에서는 미래 현금흐름을 적정 할인율로 할인하여 금융상품의 가치를 평가하고 있다. 이 때 금융상품의 미래 현금흐름이 확정적이냐, 비확정적이냐에 따라 밸류에이션 방식이 달라진다. 일반적인 채권(Option-free bond)의 경우 미래 현금흐름이 확정적이나, 옵션부 채권이나 주식, 옵션 등은 미래 현금흐름이 확정되어 있지 않기 때문에 복잡한 평가방식이 들어가게 된다. 주식의 경우 PER, PSR 등 상대평가방식 외 배당할인모형(DDM; Dividends discount model), 현금흐름할인모형(DCF; Discounted cash flow model) 등이 있고, 옵션부 채권은 이항 모형(Binomial model), 옵션은 블랙숄즈(Black Sholes Merton model) 등 다양한 밸류에이션 기법이 존재한다. 증권사와 은행에서 많은 투자자를 모으고 있는 ELS의 경우도 마찬가지로, 미래 기초자산의 가격을 시뮬레이션 하여 옵션의 만기 페이오프를 산출한 뒤, 이를 현재가치를 할인한 기대값을 계산하여 최종 고객 수익률을 산출하게 된다.
따라서 금융투자상품의 가치 산정에는 1) 미래 현금흐름, 2) 할인률 이 두 변수를 적절하게 추정하는 것이 매우 중요하다.
연금의 미래가치, 현재가치
정기적으로 동일 금액을 투자하거나 지급받는 것을 연금(annuity)이라고 한다. 현금흐름이 기말(end of period)에 이루어지는 연금은 정상연금(ordinary annuity)이고, 현금흐름이 기초에 발생하면 이상연금(annuity due)이다. 정상연금의 미래가치를 그림으로 그려보면 다음과 같다.
$$FV(Future Value) = a+a(1+r)+a{(1+r)}^{2}+a{(1+r)}^{3}+\cdots+a{(1+r)}^{n-1}$$
등비수열(geometric progression)의 합공식*을 적용하면,
$$FV(Future Value) = a[\frac{(1+r)^{n}-1}{r}]$$
정상연금의 현재가치는 미래 현금흐름을 할인한 값들의 합이다.
$$PV(Present Value) = \frac{a}{(1+r)^{1}}+\frac{a}{(1+r)^{2}}+\frac{a}{(1+r)^{3}}+\cdots+\frac{a}{(1+r)^{n}}$$
정리하면,
$$PV(Present Value) = a[\frac{r^{n+1}-r}{r-1}]$$