위너 과정 & 이토 보조정리(Ito's Lemma)

위너 과정과 이토 보조정리(It's Lemma)

주가의 위너 과정

주가를 확률변수 S로 표시하여 위너 과정을 써보자.
$$dS=\mu dt+\sigma dz$$

짧은 시간간격 dt에 대해 주가의 평균 변화량은 $ \mu dt $가 되는 바, 주가에 관해서는 위 식에 다소의 수정이 요구된다. 주가의 수준에 관계없이 주가의 '평균 변화량( $ \mu dt $ )'이 절대값으로 일정하기 때문인데, 예를 들어 시간 단위당 주가 변동이 주가가 10,000원일 때와 100,000,000일 때가 같다는 의미가 된다. 주식 투자자들은 주가 수준에 관계없이 동일한 수준의 '수익률(return)'을 요구한다. 그러므로 주가의 '평균 변화량'이 아닌 '평균 수익률'이 일정하다는 가정이 더 자연스러울 것이다. 수익률은 주가 변화량 dS를 주가 S로 나눈 값이므로 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dz$$ $$dS=\mu Sdt + \sigma Sdz$$ *현재 주가를 $ S_{0} $라고 할 때, 다음 기(time T)의 주가 $ S_{T} $는 평균이 $ S_{0}+\mu ST $이고 분산이 $ \sigma^{2} ST $인 정규분포를 따른다는 의미가 된다.
*위 식을 '기하학적 브라운 운동(Geometric Brownia Motion)'이라고 한다. 이는 Generalized Wiener process의 특정 형태이다.

수익률은 주가 수준에 관계없이 '일정한 수익률 표준편차( $ \sigma \sqrt{dt} $ )'를 가지며 이는 주가의 변동성을 나타낸다. $ \sigma \sqrt{dt} $는 평균 0, 분산 1인 정규분포를 한다.

만약 dz가 0이라면 주가 수익률에 불확실성이 없다는 의미가 된다.
$$\frac{dS}{S}=\mu dt$$

시간 구간 0~T에 대해 적분하면
$$\int \frac{dS}{S}= \int \mu dt$$ $$\int \frac{1}{S}dS = \int \mu dt$$ $$ln|S_{T}|-ln|S_{0}|=\mu T - \mu *0$$ $$ln|\frac{S_{T}}{S_{0}}|=\mu T$$ $$S_{T}=S_{0}*e^{\mu T}$$

위험중립세계(risk-neutral world)에서 $ \mu =r $(무위험 수익률)이 될 것이다.

이산확률모델로 다시 쓰면
$$\frac{\Delta S}{S}=\mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}$$ $$\frac{\Delta S}{S} \sim \phi(\mu \Delta t, \sigma^{2} \Delta t)$$

이토의 보조정리(Ito's Lemma)

위너과정 $ dx=adt+bdz $에서 a, b가 변수 x와 시간 t의 함수일 때 이를 이토 확률과정(Ito process)라고 한다.
$$dx=a(x, t)dt + b(x, t)dz$$

x, t의 함수 G(x, t)는 다음과 같은 프로세스를 따른다. 여기서는 증명을 따로 다루지 않는다.
$$dG=(\frac{\delta G}{\delta x}a + \frac{\delta G}{\delta t} + \frac{1}{2}\frac{\delta^{2} G}{\delta x^{2}}b^{2})dt + \frac{\delta G}{\delta x}bdz$$

함수 G는 $ \frac{\delta G}{\delta x}a + \frac{\delta G}{\delta t} + \frac{1}{2}\frac{\delta^{2} G}{\delta x^{2}}b^{2} $의 drift rate과 $ (\frac{\delta G}{\delta x})^{2}b^{2} $의 variance rate을 갖는 위너 과정을 따른다.

이토의 보조정리를 주가에 적용해보자. 위너 과정을 따르는 주가 움직임의 모델을 아래와 같이 정의하였다.
$$\frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dz$$ $$dS = \mu Sdt + \sigma Sdz$$

G를 주가 S와 시간 t의 함수라고 할 때, 이토 보조정리(Ito's lemma)에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$dG=(\frac{\delta G}{\delta S}\mu S + \frac{\delta G}{\delta t} + \frac{1}{2}\frac{\delta^{2} G}{\delta S^{2}}\sigma^{2}S^{2})dt + \frac{\delta G}{\delta S}\sigma Sdz \quad \quad \quad (1)$$

함수 G를 $ G=lnS $로 정의하면,
$$\frac{\delta G}{\delta S}=\frac{1}{S}, \quad \frac{\delta^{2}G}{\delta S^{2}}=- \frac{1}{S^{2}}, \quad \frac{\delta G}{\delta t}=0 \quad \quad \quad (2)$$

(2)번 식을 (1)번에 대입하면
$$dG = (\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})dt + \sigma dz$$

$ \mu, \sigma $가 상수이므로, $ G=lnS $는 $ \mu - \frac{\sigma^{2}}{2} $의 drift rate과 $ \sigma^{2} $의 variance rate을 가지는 위너 과정을 따르고, 따라서 $ lnS $는 정규분포를 한다는 것을 알 수 있다. 시간간격 0~T 사이에서 $ dG=lnS_{T} - lnS_{0} $ 이므로
$$lnS_{T} - lnS_{0} \sim \phi [(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \ \sigma^{2} T]$$ $$lnS_{T} \sim \phi [lnS_{0} + (\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \ \sigma^{2} T] \quad \quad \quad (3)$$

(3)번 식은 주가에 자연로그를 취한 값 $ lnS_{T} $가 정규분포를 따른다는 것을 보여준다. 어떤 확률변수에 로그를 취한 값이 정규분포를 한다면, 그 변수는 대수정규분포(로그정규분포; lognormal distribution)을 따른다. 마르코프 확률 과정에 따라 오늘의 주가( $ S_{0} $ )가 주어졌다면, 다음 기(time T)의 주가 $ S_{T} $는 로그정규분포를 한다는 것을 보여준다.