블랙-숄즈-머튼 모형(BSM Model) _ 1

피셔 블랙(Fisher Black)과 마이런 숄즈(Miron Sholes)가 먼저 고안해내고 이후 로버트 머튼 (Robert Merton)이 참여하여 완성한 옵션 가격을 산출하는 방정식에 대해 설명한다. 머튼이 후에 합류해서 그런지 Black-Sholes-Merton(BSM) 보다는 Black-Sholes 모델로 더 유명한 것 같다.

BSM Pricing Formula를 먼저 적으면 아래와 같다.
$$c = S_{0}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$$ $$p = Ke^{-rT}N(-d_{2}) - S_{0}N(-d_{1})$$
*\( d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \), \( d_{2} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r-\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \)

\( N(x) \)는 표준정규분포의 누적확률분포함수(Cumulative probability distribution fuction)이다.

블랙숄즈머튼(BSM) 공식을 이해하기 위해선 먼저 로그정규분포를 따르는 주가수익률의 평균과 분산을 먼저 알아볼 필요가 있다. 여기에서는 두 페이지에 걸쳐 BSM 공식을 알아보도록 한다.

관련 내용은 다음 서적을 참조하였다.
- Options, Futures, And Other Derivatives Eighth Edition, John C.Hull (and Technical Note)
- Introduction to Probability Models 11th Edition, SHELDON M.ROSS

가정

  1. 세금 및 수수료 등 거래에 따르는 비용은 없으며, 투자자는 자유롭게 공매도(Short selling) 할 수 있다.
  2. 파생상품 잔존만기 동안 주식은 배당을 지급하지 않는다(무배당 주식 가정).
  3. 시간은 연속적(continuous)이며, 시장에서 무위험 차익거래 기회는 존재하지 않는다.
  4. 파생상품의 잔존만기 동안 무위험수익률(r)은 일정하다.
  5. 주가는 기하학적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다.

BSM 모델에서 주가는 위너 과정에 기반한 기하학적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다고 가정한다. 주가의 확률미분방정식(SDE; Stochastic Differential Equation)은
$$\frac{\Delta S}{S}=\mu \Delta t+\sigma \Delta z$$ $$\frac{\Delta S}{S}=\phi (\mu \Delta t, \sigma^2 \Delta t)$$
*\( \mu, \sigma \)는 연 수익률, 연 변동성을 의미한다. BSM모델에서 수익률과 변동성은 모두 1년을 기준으로 한다.

이토의 보조정리에 의해
$$ln(\frac{S_{T}}{S_{0}}) \sim \phi [(\mu- \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2T]$$

로그정규분포(Lognormal distribution)을 따르는 주가수익률의 평균과 분산

변수 V가 로그정규분포를 따르고 X=ln(V)가 정규분포를 한다고 하자.
$$X \sim \phi (m, s^{2})$$ $$f(X)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}s}exp(-\frac{(X-m)^2}{2s^{2}})$$

f(X)는 X의 확률밀도함수(probability density function)이다.

로그정규분포를 따르는 변수 V의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$f(V)=f(X)|\frac{dX}{dV}|=\frac{1}{V}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}s}exp(-\frac{(ln(V)-m)^{2}}{2s^{2}})$$

변수의 평균(1차 적률)과 분산을 구하기 위해 적률생성함수 및 n차 적률을 구하면
$$M_{v}(t)=E(V^{n})$$ $$nth \ moment = M_{V}^{n}(0)=E(V^{n})$$

n차 적률을 구하기 위해 확률밀도함수 f(V)를 적용하면,
$$E(V^{n})=\int_{0}^{\infty }V^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}sV}exp(-\frac{(ln(V)-m)^{2}}{2s^{2}})dV$$
*V는 로그정규분포이므로 0에서부터 적분한다.

V=exp(X)이므로,
$$E(V^{n})=\int_{-\infty }^{\infty }exp(nX) \frac{1}{\sqrt{2\pi}s}exp(-\frac{(X-m)^{2}}{2s^{2}})dX$$
*X는 정규분포이므로 치환적분 시 전구간으로 범위가 변한다.

지수 부분을 정리하면,
$$exp(nX)exp(-\frac{(X-m)^{2}}{2s^{2}})=\frac{-(X^{2}-2Xm+m^{2}-2Xns^{2}+2mns^{2}+n^{2}s^{4})+2mns^{2}+n^{2}s^{4}}{2s^{2}}$$

따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi }s} exp(-\frac{(X-m-ns^{2})^{2}}{2s^{2}}) exp(\frac{2mns^{2}+n^{2}s^{4}}{2s^{2}})dX$$ $$=exp(nm+ \frac{n^{2}s^{4}}{2}) \int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi}s} exp(-\frac{(X-m-ns^{2})^{2}}{2s^{2}})dX$$

오른쪽 적분 부분은 평균 \( m+ns^{2} \), 분산 \( s^{2} \)의 정규분포를 나타내므로, 적분 부분의 값은 1이 된다. 그러므로 n차 적률 \( E(V^{n})=exp(nm+ \frac{n^{2}s^{2}}{2}) \)이 되고, n=1을 대입하면 V의 기대값을 구할 수 있다.
$$E(V)=exp(m+ \frac{s^{2}}{2}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

2차 적률 \( E(V^{n})=exp(2m + 2s^{2}) \)이므로 V의 분산 \( E(V^{2})-[E(V)]^{2} \)은
$$E(V^{2})-[E(V)]^{2}=exp(2m + s^{2})(exp(s^{2})-1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

위에서 로그정규분포를 하는 변수 V에 로그를 씌운 값 X=ln(V)가 평균 \( m \), 분산 \( s^{2} \)의 정규분포를 한다고 하였다. 또한 로그정규분포를 하는 주가수익률에 로그를 취한 값이 아래의 정규분포를 한다고 하였다.
$$ln( \frac{S_{T}}{S_{0}}) \sim \phi[(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \sigma^{2}T]$$

따라서 \( V=\frac{S_{T}}{S_{0}} \)로 볼 수 있다. \( m=(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \ s^{2}=\sigma^{2}T \)를 (1)번과 (2)번 식에 대입하여, 로그분포를 하는 수익률 \( \frac{S_{T}}{S_{0}} \) 또는 \( S_{T} \)의 기대값과 분산을 구할 수 있다.
$$E(V)=E(\frac{S_{T}}{S_{0}})=\frac{E(S_{T})}{S_{0}}=e^{\mu T}$$ $$E(S_{T})=S_{0}e^{\mu T}$$ $$Var(V)=Var(\frac{S_{T}}{S_{0}})=e^{2\mu T}(e^{\sigma^{2}T}-1)$$ $$Var(S_{T})=S_{0}^{2}e^{2\mu T}(e^{\sigma^{2}T}-1)$$